Dimostrazione

(): dimostriamo che se a₀ non è un elemento irriducibile allora I non è massimale.

Sia a₀ = bc, con b e c elementi non invertibili di A e sia J = (b).

Dimostriamo che:

per cui b sarebbe invertibile, cosa che non è vera.

Insieme alla condizione che a₀ = bc questo ci dice che a₀ = xca₀, da cui xc = 1, in contraddizione con la non invertibilità di c.

J quindi non coincide né con I né con A ed essendo I contenuto in J, I non può essere massimale.

(): supponiamo che a₀ sia un elemento irriducibile di A e che U sia un ideale di A tale che:

Poiché in un anello euclideo ogni ideale è principale U = (u₀).

Ma a₀ è un elemento irriducibile di A, per cui o x o u₀ è invertibile in A. Se u₀ lo è, allora U = A per il lemma 2.

Se è x ad essere invertibile, allora

Non ci sono pertanto ideali di A strettamente compresi tra I e A per cui I è un ideale massimale di A. (c.v.d.)