Dimostrazione

Sia A un anello euclideo e sia I un ideale di A.

Se I = {0}, allora I è generato dall’elemento 0 per cui è principale. Supponiamo quindi:

Prendiamo l’insieme dei numeri naturali della forma:

e sia n il minimo tra tutti questi.

Fissiamo un elemento a₀ in I \{0} tale che

Vogliamo far vedere che I = (a₀).

Ovviamente (a₀) è contenuto in I e quindi basta mostrare che:

Sia b un elemento di I cerchiamo di trovare un q in A con b = qa₀.

Dal momento che A è un anello euclideo possiamo determinare in A q ed r con

Ma non è possibile che r sia non nullo perché r = b - qa₀ che è un elemento di I, quindi non si potrà avere

(c.v.d.)