Dimostrazione

 

():

         per assurdo.

         Supponiamo che a non sia un divisore primo di m. Ci sono allora due possibilità:

 

  1. se M.C.D.(a, m) = 1 allora a è invertibile e quindi (a) = Z m che è un ideale banale e non è primo;

 

  1. se a divide m, a non è primo, cioè a = pq.

Allora pq è un elemento di (a), ma né pq stanno in (a) poiché entrambi dividono a. Quindi (a) non è un ideale primo.

 

():

         sia a un divisore primo di m. Indichiamo con o(a) = ordine di a.

         Abbiamo che:

         quindi a è primo.

         Siccome Z m è ciclico, allora Z m quozientato con l’ideale (a) è ciclico di ordine a e quindi è isomorfo a Z a che è un campo.

         Di conseguenza (a) massimale e quindi anche è primo.          (c.v.d.)