ESEMPI:

4. Consideriamo l’anello Z degli interi e sia I un ideale di Z.

I è un sottogroppo del gruppo additivo (Z, +) e dalla teoria dei gruppi si vede che I è formato dai multipli

di un intero n. Scriviamo I = (n).Vediamo quali valori di (n) danno luogo ad ideali massimali.

Osserviamo innanzitutto che: se p è un numero primo allora P = (p) è un ideale massimale.

Infatti, essendo I = (n) un ideale di Z e p un elemento di P, ideale contenuto in I, sicuramente p = mn

per un certo m. Ma siccome p è primo si avrà:

n = p oppure n = 1.

Primo caso:

Secondo caso:

Questo mostra che P è un ideale massimale perché nessun ideale, all’infuori di Z e P, può stare tra Z e P.

A questo punto supponiamo che M = (n) sia un ideale massimale di Z. Mostriamo che n è un numero primo:

se fosse n = ab, a, b interi positivi, allora:

I = Z

oppure

I = M

Primo caso:

Se I = Z allora a = 1;

Secondo caso:

Se I = M allora a è un elemento di M e quindi a = sn per un certo s, essendo ogni elemento di M un multiplo di n.

Dunque:

Così n è un numero primo.

Abbiamo visto come nell’anello degli interi il concetto di ideale massimale coincida con quello di numero primo.

Questa proprietà però non si può generalizzare ad un anello qualsiasi.