Dimostrazione

1. Usando la legge distributiva si ha che:

a0 = a(0 + 0) = a0 + a0.

Poiché A è un gruppo rispetto all’addizione, questa uguaglianza implica che: a0 = 0.

Analogamente:

0a = (0 + 0)a = 0a + 0a implica che 0a = 0.

2. Per dimostrare che a(-b) = -(ab) occorre far vedere che:

ab + a(-b) = 0.

Ma ab + a(-b) = a(b + (-b)) = a0 = 0 come si è verificato al punto precedente.

Allo stesso modo si dimostra che: (-a)b = -(ab).

3. (-a)(-b) = - (a(-b)) = - (- (ab)) = ab.

L’ultima uguaglianza si ha perché -(- x) = x è una conseguenza del fatto che in un gruppo (u^-1)^-1= u.

4. Se A possiede un elemento unità si ha che:

a + (-1)a = 1a + (-1)a = (1 + (-1))a = 0a = 0, quindi (-1)a = - a;

5. Se, in particolare, nel punto 4 si considera a = - 1 si vede che:

(-1)(-1) = - (-1) =1. (c.v.d.)