A questo punto bisogna far vedere che quelli che abbiamo definito sono effettivamente polinomi,

verificando che quando N è abbastanza grande (f(x) + g(x))_N e (f(x)g(x))_N sono nulli.

• Poniamo m = deg(f(x)), n = deg(g(x)).

Abbiamo che a_i = b_i = 0 per ogni i > max(m, n) e quindi (f(x) + g(x))_N = 0 se N > max(m, n).

Di conseguenza:

f(x) + g(x) è un polinomio di grado al più max(m, n).

• Consideriamo il coefficiente:

.

Supponiamo che N > m + n e i + j = N.

In ogni caso il prodotto a_ib_j è nullo, perché per definizione di grado si ha a_i = 0 se i > m e b_j = 0 se j > n.

Quindi:

f(x)g(x) è un polinomio di grado al più m + n.

Proposizione 27:

L’insieme A[x], con le operazioni sopra definite e con i polinomi costanti 0 e 1 come zero e come identità,

forma un anello commutativo contenente A come sottoanello.

L’opposto di un polinomio f(x) è definito da: (-f(x))_i = - (a_i).

Proposizione 28:

Sia A un dominio di integrità.

Allora A[x] è pure un dominio di integrità. Se f e g sono due polinomi di A[x] si ha che:

2. deg(f(x)g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x)).

Inoltre il coefficiente direttore di f(x)g(x) è il prodotto dei coefficienti direttori di f(x) e di g(x).

OSSERVAZIONI:

• Si può avere deg(f(x) + g(x)) < max (deg(f(x)), deg(g(x))), ad esempio:

deg(1 - x) = 1 e deg(-x) = 1, ma il deg((1 - x) + (-x)) = deg(1) = 0;

• Supponiamo che A non è un dominio di integrità e prendiamo due elementi a e b di A non nulli tali che ab = 0.

Vediamo che (1 + ax)(1 + bx) = 1 + (a +b)x + abx² = 1 + (a +b)x.

Quindi in A[x] esistono due polinomi di grado 1 che moltiplicati hanno al più grado 1.

Perciò la formula 2 della proposizione 28 non vale se A non è un dominio di integrità.