Dimostrazione

1. Abbiamo già visto che

La formula per il grado della differenza segue da questo e dal fatto che deg(-g(x)) = deg(g(x)).

2. Assumiamo ora che f(x), g(x) siano diversi da zero. Sia deg(f(x)) = m e deg(g(x)) = n, cosicché:

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ +…+ a_mx^m , g(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + b₃x³ +…+ b_nxⁿ ,

Abbiamo visto che il grado di f(x)g(x) è al più m + n e basta quindi far vedere che

il coefficiente (f(x)g(x))_{m + n} non sia nullo.

Se i + j = m + n, allora i > m se j < n, e j > n se i < m: dunque tutti i prodotti a_ib_j, con i + j = m + n,

saranno 0 tranne a_mb_n, che non può essere nullo in quanto:

Perciò:

mentre:

(f(x)g(x))_N = 0 per N > m + n.

Quindi f(x)g(x) è non nullo e deg(f(x)g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x)).

Questo dimostra che A[x] è un dominio di integrità e dà la formula per il grado di un prodotto

quando entrambi i fattori sono non nulli.

Quando f(x) = 0 oppure g(x) = 0, allora f(x)g(x) = 0 e quindi deg(f(x)g(x)) = -.

Siccome deg(f(x)) = - e deg(g(x)) = -, si avrà deg(f(x)) + deg(g(x)) = -e la formula è verificata in ogni caso.

(c.v.d.)