OSSERVAZIONE:

 

OSSERVAZIONE:

 

Dalla formula deg(f(x)g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x)) segue, per induzione, che se n è un intero positivo,
allora deg(f n(x)) = n * deg(f(x)).

Dalla stessa formula segue anche che se f(x) /g(x) e g(x) è non nullo, allora deg(f(x)) < deg(g(x)).

 

 

Proposizione 29:

 

Sia A un dominio di integrità.Un polinomio in A[x] è invertibile se e solo se è costante ed è invertibile come elemento di A.

dimostrazione

 

 

 

            ad esempio, in Z[x] le unità sono +1 e -1.

 

 

La proposizione 29 in generale non è vera se A non è un dominio di integrità. Infatti, ad esempio, in Z 4[x] si ha:

 (1 – 2x)(1 + 2x) = 1 - 4x2 = 1, per cui 1 – 2x è invertibile senza essere costante.

 

 

Definiamo l’anello dei polinomi in n variabili:

 

 

        DEFINIZIONE 35:

 

Sia A1 = A[x1], A2 = A1[x2] l’anello dei polinomi nella x2 su A1, …, An = An – 1[xn].


An
= A[x1,…,xn] è l’anello dei polinomi in x1, …, xn su A.

 

I suoi elementi hanno la forma:

dove uguaglianza e addizione sono definite coefficiente per coefficiente e la moltiplicazione usando la legge distributiva e la regola degli esponenti:

.

 


 

 

Corollario 3:

 

Se A è un dominio di integrità anche A[x1,…,xn] lo è.

 

 

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