OSSERVAZIONE:
Dalla
formula deg(f(x)g(x)) = deg(f(x))
+ deg(g(x)) segue, per induzione, che se n è un intero positivo,
allora deg(f n(x)) = n * deg(f(x)).
Dalla
stessa formula segue anche che se f(x) /g(x)
e g(x) è non nullo, allora deg(f(x))
< deg(g(x)).
Proposizione 29:
Sia A un dominio di integrità.Un polinomio
in A[x] è invertibile se e solo se è costante ed è invertibile come
elemento di A.
ad esempio, in Z[x]
le unità sono +1 e -1.
La
proposizione 29 in generale non è vera se A
non è un dominio di integrità. Infatti, ad esempio, in Z 4[x] si ha:
(1 – 2x)(1
+ 2x) = 1 - 4x2 = 1, per cui 1 – 2x
è invertibile senza essere costante.
Definiamo l’anello dei polinomi in
n variabili:
DEFINIZIONE 35:
Sia A1 = A[x1], A2 = A1[x2] l’anello dei polinomi
nella x2 su A1, …, An = An –
1[xn].
An = A[x1,…,xn] è l’anello dei polinomi in x1, …, xn
su A.
I suoi elementi hanno la forma:
dove uguaglianza e addizione sono definite coefficiente per coefficiente e la moltiplicazione usando la legge distributiva e la regola degli esponenti:
.
Corollario 3:
Se A è un dominio di integrità anche A[x1,…,xn] lo è.