Cominciamo col definire quali sono i polinomi irriducibili nel dominio euclideo K[x].

DEFINIZIONE 36:

Un polinomio f(x) a coefficienti in un campo K si dice irriducibile su K se una fattorizzazione f(x) = g(x)h(x),

con g(x) e h(x) in K[x] implica che uno dei due polinomi o g(x) o h(x) ha grado 0, cioè è invertibile.

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TEOREMA 5: (di scomposizione in fattori irriducibili)

Sia f(x) un polinomio di grado positivo a coefficienti in K e sia c il coefficiente direttore di f(x), c elemento di K^*.

Allora esistono in K[x] dei polinomi monici irriducibili distinti p₁,…, p_r e degli interi positivi m₁,…, m_r tali che:

Inoltre se esistono altri polinomi monici irriducibili distinti q₁,…, q_s e interi positivi n₁,…, n_s tale che:

p₁ = q₁,…, p_r = q_r e m₁ = n₁,…, m_r = n_r.

Come conseguenza si ha che un polinomio monico riducibile si scompone come prodotto di due polinomi monici di grado positivo.

Altre deduzioni che si possono fare, considerando il fatto che K[x] è un anello euclideo, sono le seguenti:

• K[x] è un anello ad ideali principali;

• Due polinomi f(x) g(x) di K[x] ammettono sempre un massimo comun divisore d(x) (unico a meno di associati);

• Un ideale I = (p(x)) di K[x] è massimale se e soltanto se p(x) è irriducibile su K.

TEOREMA 6:

Sia f(x) un qualsiasi polinomio in K[x] e sia x – a, a appartenente a K, un polinomio monico lineare.