Sezione: Elementi di calcolo vettoriale

Elementi di calcolo vettoriale

Per la comprensione dei capitoli che seguono è indispensabile la conoscenza di alcune nozioni elementari di calcolo vettoriale che esporremo in questo capitolo. Vi sono nella fisica grandezze completamente determinate da un numero che le misura in una certa scala, cioè dal numero che esprime il rapporto fra la grandezza e un'altra della stessa specie presa come unità di misura; queste sono le grandezze scalari. (Per esempio, una lunghezza è grandezza scalare, perchè è determinata, in modo completo, dal numero che la misura).
In fisica però, e in particolare in meccanica, si incontrano grandezze che non sono determinate in modo completo solo da un numero, ma che richiedono anche la conoscenza di una direzione e di un verso (ad esempio velocità, forza...). A questo scopo diamo la definizione di vettore, che risulta fondamentale per la descrizione matematica di concetti fisici. La nozione intuitiva di vettore è quella di un segmento orientato nello spazio tridimensionale della geometria euclidea; più precisamente:

Definizione 1.1   Si chiama vettore un ente matematico caratterizzato da un numero (positivo), da una direzione e da un verso:
Figura 1.1: Vettore
Image fig1

Per indicare un vettore useremo la notazione $ \vec{v}$, cioè una lettera sormontata da una freccia. Un vettore viene sempre rappresentato, come in fig.1.1, da un segmento orientato, cioè da un segmento munito di freccia.
La lunghezza del segmento, misurata in una certa scala, è il numero (positivo) che caratterizza il vettore e che viene chiamato modulo del vettore stesso; la direzione della retta che contiene il segmento è la direzione del vettore, il verso ( detto anche senso) è dato dal verso della freccia. Il modulo di un vettore $ \vec{v}$ si indicherà con $ v$ o anche con il simbolo $ \vert\vec{v}\vert$.

Definizione 1.2   Si dice vettore unitario (o versore) un vettore di modulo uno.

Definizione 1.3   Si dice vettore nullo il vettore di modulo zero con direzione e verso indeterminati.

Se A e B, come nella Figura1.1, sono gli estremi del segmento che rappresenta un vettore (con verso da A a B), il vettore può indicarsi con il simbolo $ B-A$, cioè intendersi come differenza di punti, o anche $ \vec{AB}$.
Il punto A si chiama origine o primo estremo del vettore, il punto B secondo estremo.

Definizione 1.4   Due vettori sono uguali quando hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso indipendentemente dalla posizione nello spazio dei segmenti orientati che li rappresentano, che devono essere perciò uguali, paralleli e ugualmente orientati.

Da questa definizione segue che se $ \vec{v}$ è un vettore rappresentato dal segmento orientato $ \vec{AB}$ e $ O$ è un punto fissato nello spazio, si può sempre trasportare il vettore in modo da avere origine in $ O$. Ossia è sempre possibile individuare un punto $ P$ tale che $ \vec{v}=\vec{AB}=\vec{OP}$.

Figura 1.2: Vettore applicato
Image fig2
Ma vi è di più. Se è

$\displaystyle B-A=\vec{v},$

trasportando A al secondo membro, come se fosse un numero, si ha

$\displaystyle B=A+\vec{v},$

cioè il punto $ B$ si ottiene dal punto $ A$ facendogli compiere lo spostamento indicato da $ \vec{v}$.


Rappresentazione cartesiana dei vettori