Sezione: Elementi di calcolo vettoriale

Rappresentazione intrinseca del prodotto scalare

Si può dimostrare la seguente disuguaglianza di Schwarz:

$$\vert\vec{a}\cdot\vec{b}\vert\leq\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert;\,\,\,\,\,\, \forall\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^3$$

Ne segue che

$$\frac{\vert\vec{a}\cdot\vec{b}\vert}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}\leq1; \,\,\,\,\,\, \forall\vec{a},\vec{b}\neq\vec{0}$$

Si pone per definizione:

$$cos\alpha=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}$$

da cui si può ricavare la rappresentazione intrinseca del prodotto scalare:

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert cos\alpha.$$

Definizione 1.5   Due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo.

Allora, se $\vec{a}$ e $\vec{b}$ sono vettori non nulli,

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$$    se e solo se $$\alpha=\frac{\pi}{2}\;,$$

cioè due vettori sono ortogonali se e solo se i corrispondenti segmenti orientati formano un angolo di $\frac{\pi}{2}$.