Sezione: Elementi di calcolo vettoriale

Prodotto vettoriale fra vettori

Definizione 1.6   Una terna $(\vec{a},\vec{b},\vec{w})$ di vettori (linearmente indipendenti) si dice terna destra se, disponendo la mano destra in linea col vettore $\vec{a}$ e facendola ruotare come per portare $\vec{a}$ sopra $\vec{b}$, il pollice teso punta nel verso di $\vec{w}$.

Figura 1.5: Terna destra

Dati due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$, che possiamo suppore di ugual origine $O$, si chiama prodotto vettoriale fra i due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$, e lo indicheremo col simbolo $\vec{a}\times\vec{b}$, il vettore $\vec{w}$ tale che:

1. $\vert w\vert=absen\alpha$ dove $\alpha$ è l'angolo compreso fra i due vettori;
2. la direzione è quella ortogonale al piano individuato da $\vec{a}$ e $\vec{b}$;
3. il verso è quello in cui $\vec{a}$,$\vec{b}$ e $\vec{w}$ nell'origine formano una terna destra.

Ovviamente il prodotto vettoriale, a differenza del prodotto scalare, è un vettore.

Osservazione 1.2   Il prodotto vettoriale è nullo quando sono nulli o l'uno o l' altro dei vettori che lo costituiscono, o è nullo il seno dell'angolo $\alpha$ compreso fra essi, ossia quando i due vettori sono paralleli, poichè $sen\alpha=0$ per $\alpha=0$ e $\alpha=\pi$.
In particolare si ha $\vec{a}\times\vec{a}=0$

Il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa infatti si ha

$$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\;;$$

però gode della proprietà distributiva rispetto alla somma, cioè

$$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}\;;$$

inoltre in generale non gode della proprietà associativa.