Sezione: Elementi di calcolo vettoriale

Rappresentazione cartesiana del prodotto vettoriale

Se $\vec{a}={a_x}\vec{e_1}+{a_y}\vec{e_2}+{a_z}\vec{e_3}$ e $\vec{b}={b_x}\vec{e_1}+{b_y}\vec{e_2}+{b_z}\vec{e_3}$ è facile verificare che $\vec{a}\times\vec{b}$ è dato dal seguente determinante:

$$\mathbf{\vec{a}\times\vec{b}}= \left\vert\begin{array}{ccc} \ve... ...c{e_3} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ \end{array}\right\vert.$$

Nel seguito, per la base canonica $(\vec{e_1},\,\vec{e_2},\,\vec{e_3})$ useremo la notazione più classica in Meccanica:

$$\vec{e_1}=\vec{i},\,\,\,\,\,\vec{e_2}=\vec{j},\,\,\,\,\,\vec{e_3}=\vec{k}.$$

La terna $(\vec{i},\,\vec{y},\,\vec{k})$ è una base ortonormale, cioè i vettori sono a due a due ortogonali e ciascuno di norma unitaria:

$$\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{k}=\vec{i}\cdot\vec{k}=0 \,\,$$ e $$\,\, \vert\vec{i}\vert=\vert\vec{j}\vert=\vert\vec{k}\vert=1.$$

Da questo segue che se $\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$ si ha

$$\left\{\begin{array}{ll} a_x=\vec{a}\cdot\vec{i}\\ a_y=\vec{a}\cdot\vec{j}\\ a_z=\vec{a}\cdot\vec{k}\\ \end{array}\right.$$

da cui si può scrivere

$$\vec{a}=(\vec{a}\cdot\vec{i})\vec{i}+(\vec{a}\cdot\vec{j})\vec{j}+(\vec{a}\cdot\vec{k})\vec{k}.$$