Sezione: Elementi di calcolo vettoriale

Vettori variabili

Supponiamo di avere una funzione $\vec{u}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3$, cioè una legge che ad ogni $\textit{t}\in\mathbb{R}$ associa uno e un solo vettore $\vec{u}\in\mathbb{R}$. Allora diremo che $\vec{u}(t)$ è un vettore varibile funzione di $t$.
Naturalmente saranno funzioni di $t$ le 3 componenti $u_x(\textit{t}),\, u_y(\textit{t}),\,u_x(\textit{t})$ di $\vec{u}(t)$ rispetto alla base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Definizione 1.7   Fissati $t_{0}\in\mathbb{R}$ e $\vec{u_{0}}\in\mathbb{R}^3$ si dice che $\vec{u_{0}}(t)$ è il limite di $\vec{u}(t)$ per $t$ che tende a $t_{0}$ e si scrive

$$\lim_ {t \rightarrow + t_0} \vec{u}(t) =\vec{u_{0}}$$ (1.1)

se $\lim_ {t \rightarrow + t_0} \vert\vec{u}(t)-\vec{u_{0}}\vert =0$.

Poichè $\forall \, \vec{a}\in\mathbb{R}^3$ si ha che

$$\vert a_x\vert\leq\vert\vec{a}\vert,\,\,\,\,\vert a_y\vert\leq\vert\vec{a}\vert,\,\,\,\,\vert a_z\vert\leq\vert\vec{a}\vert$$

è immediato verificare che $\lim_ {t \rightarrow + t_0} \vec{u}(t) =\vec{u_{0}}$ se e solo se

$$\left\{\begin{array}{ll} \lim_ {t \rightarrow + t_0} u_{x}(t) ={... ... \\ \lim_ {t \rightarrow + t_0} u_{z}(t) ={u_{0z}} \\ \end{array}\right.$$

Possiamo ora definire la derivata di un vettore.

Definizione 1.8   Chiamiamo derivata del vettore $\vec{u}(t)$ rispetto a $t$ in $t_0\in\mathbb{R}$ il seguente limite

$$\vec{u}^{\,'}(t_{0})= \frac{d\vec{u}}{dt}(t_0)= \lim_ {h \rightarrow + 0} \frac{\vec{u}(t_{0}+h)-\vec{u}(t_0)}{h}$$

se esiste come vettore in $\mathbb{R}^3$.

Dall'osservazione che segue la Definizione 1.8 si ha il seguente

Teorema 1.1

  Le componenti della derivata di un vettore, valgono le derivate delle sue componenti.

Dimostrazione. I vettori che si usano in meccanica ammettono sempre almeno la derivata di secondo ordine. Siano $\vec{u}$ e $\vec{v}$, vettori variabili (per brevità si omette la dipenenza da $t$), si ha:

(i)

$$\frac{d(\vec{u}\cdot\vec{v})}{dt}=\frac{d\vec{u}}{dt}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}$$ ;

(ii)

$$\frac{d(\vec{u}\times\vec{v})}{dt}=\frac{d\vec{u}}{dt}\times\vec{v}+\vec{u}\times\frac{d\vec{v}}{dt}$$ ;

(iii)

$$\frac{d(m\vec{v})}{dt}=\frac{dm}{dt}\vec{v}+ m\frac{d\vec{v}}{dt}$$, $\forall \, m\in\mathbb{R}$.

$\qedsymbol$

Osservazione 1.3   Se il vettore $\vec{u}$ è costante in modulo, eventualmente variabile in direzione e verso, si ha

$$\frac{d\vec{u}}{dt}\cdot\vec{u}=0$$

cioè la derivata di un vettore costante in modulo è perpendicolare al vettore stesso, se $\vec{u}\neq0$ e $$\frac{d\vec{u}}{dt}\neq0$$.

Se poi il vettore $\vec{u}$ è funzione di una variabile numerica $s$, a sua volta funzione della variabile $t$, sicchè $\vec{u}$ risulta funzione composta di $t$, $\vec{u}=\vec{u}(s(t))$, si ha

$$\frac{d\vec{u}}{dt}=\frac{ds}{dt}\cdot\frac{d\vec{u}}{ds}.$$ (1.2)

Consideriamo ancora la variabile $t$ e supponiamo che ad ogni suo valore corrisponda la posizione di un punto $P$ dello spazio.
Diremo che il punto $P$ è funzione di $t$ e scriveremo

$$P=P(t).$$

Se $o$ è un punto dello spazio non dipendente dal tempo, chiameremo derivata di $P$ rispetto a $t$ la derivata del vettore $P(t)-O$, e tale derivata non dipende da $O$.
Se $P-O=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ si ha

$$\frac{dP}{dt}=\frac{d(P-O)}{dt}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}+\frac{dy}{dt}\vec{k}\;,$$

cioè le componenti della derivata di un punto sono le derivate delle sue coordinate.

Se poi $P$ è funzione di un parametro $s$ a sua volta funzione di $t$, si ha, per la 1.2,

$$\frac{dP}{dt}=\frac{d(P-O)}{dt}=\frac{ds}{dt}\frac{d(P-O)}{ds}=\f... ...c{i}+\frac{dy}{ds}\frac{ds}{dt}\,\vec{j}+\frac{dz}{ds}\frac{ds}{dt}\,\vec{k}\;.$$

Avendo introdotto la nozione di derivata di un punto possiamo ora parlare di velocità.