Sezione: Elementi di calcolo vettoriale

Somma di vettori

Se $\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$ e $\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)$ sono due vettori è naturale definire la loro somma come

$\displaystyle \vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z).$

Geometricamente, se si rappresentano $\vec{a}$ e $\vec{b}$ nella forma $\vec{a}=A-0$ e $\vec{b}=B-0$ , come vettori spiccati dall' origine, allora il vettore $\vec{a}+\vec{b}=C-0$ è rappresentato dalla diagonale spiccata dall' origine del parallelogramma generato da $\vec{a}$ e $\vec{b}$ come in figura:

**Figura 1.4:** Somma di vettori

Questa definizione di somma gode delle proprietà commutativa e associativa; ovviamente $\vec{a}+\vec{O}=\vec{O}+\vec{a}=\vec{a}$ , $\forall \,\vec{a}.$ Dalla definizione di somma di vettori e dalla sua rappresentazione geometrica è facile verificare la seguente relazione tra i vettori:

$\displaystyle (B-A)+(C-B)=C-A ,$

che si può ottenere formalmente "`cancellando"'

con

. Questa relazione può anche essere riscritta come:

$\displaystyle \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC},$

ed è nota come "relazione di Charles": ovvero nella somma di due vettori "`consecutivi"' si elimina il punto intermedio.
(Vedi fig.1.4)

Osservazione 1.1 Il prodotto di un numero per una somma di vettori vale la somma dei singoli vettori moltiplicati per quel numero, cioè

$\displaystyle \lambda(\vec{a_1}+\vec{a_2}+...+\vec{a_n})=\lambda\vec{a_1}+\lambda\vec{a_2}+...+\lambda\vec{a_n}$