TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE GEOMETRICA DELLE AFFINITÀ

X PASSO $\varphi$ lineare: $\mu=id_{\mathbf{K}}$ :
Siano

segmenti orientati paralleli; per ipotesi "

conserva il rapporto" cioè

$\begin{displaymath}\frac{(f(A),f(B))}{(f(P),f(Q))}= \frac{(A,B)}{(C,D)}=id_{\mathbf{K}}\left(\frac{(A,B)}{(C,D)}\right)\end{displaymath}$

Posto $\mathbf{v}:=\overrightarrow{Of(O)}$ abbiamo visto che $f=\mathsf{T}_{\mathbf{v}}\circ g$ , quindi vale:

$\begin{displaymath}\frac{(f(A),f(B))}{(f(P),f(Q))}=\frac{(\mathsf{T}_{\mathbf{v}... ...{(g(A),g(B))}{(g(P),g(Q))}=\mu\left(\frac{(A,B)}{(C,D)}\right) \end{displaymath}$

avendo usato quanto stabilito in passo VIII per l'ultima uguaglianza e il fatto che $\mathsf{T}_{\mathbf{v}}$ è affinità e quindi "conserva il rapporto" nell'uguaglianza precedente.
Quindi $id_{\mathbf{K}}$ e $\mu$ coincidono su tutti gli scalari che si possono vedere come rapporto di segmenti (orientati paralleli), cioè su tutti gli scalari non nulli. Inoltre $id_{\mathbf{K}}(0)=0=\mu(0)$ e quindi $\mu=id_{\mathbf{K}}$ .

CONCLUSIONI Essendo $\varphi$ omogenea otteniamo in definitiva che $\varphi$ è un automorfismo dello spazio vettoriale $\mathbf{V}$ e ricordando ancora passo VIII possiamo affermare che

è un'affinità che fissa il punto

: $g\in\mathsf{Aff}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A})_{O}$ e quindi

, che eravamo riusciuti a scrivere come $\mathsf{T}_{\mathbf{v}}\circ g$ è a sua volta un'affinità come composizione di affinità.
Si noti che si è ritrovata la "scomposizione" di un'affinità

già vista in teorema 26.

Si osservi che, con la sola ipotesi "

(biunivoca) conserva il parallelismo" siamo riusciti a dimostrare che esiste $\mu:\;\mathbf{K}\longrightarrow\mathbf{K}$ tale che $\varphi(\lambda\mathbf{v})=\mu(\lambda)\varphi(\mathbf{v})$ $\forall\;\mathbf{v}\in\mathbf{V}\;,\;\forall\;\lambda\in\mathbf{K}\;\;\;(3\ast)$ . In realtà si può dimostrare (senza bisogno di altre ipotesi!) che $\mu$ è un automorfismo del campo $\mathbf{K}$ -si veda SNAPPER, E., TROYER, R. J., Metric Affine Geometry, Academic Press Inc., New York, 1971; applicazioni tra spazi vettoriali (sullo stesso campo base) per cui valga, come per $\varphi$ , la $(3\ast)$ sono dette semilineari (rispetto all'automorfismo $\mu$ ) e un'applicazione tra spazi affini per cui valga $\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\varphi(\overrightarrow{PQ}) \;\;\;\forall\;P,Q\in\mathcal{A}$ con $\varphi$ semilineare è detta semiaffine.
In definitiva si ottiene che un'applicazione biunica su $\mathcal{A}$ che conserva il parallelismo è un'applicazione semiaffine (tutto ciò nell'ipotesi, ricordiamolo, $\mathsf{dim}\mathcal{A} \geq 2$ ).

______

_______________

________________________