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CASO $\mathsf{dim}\mathcal{A}=1$

Abbiamo cioè una retta affine $\mathcal{A}$ e $f$ è una permutazione di $\mathcal{A}$ che "conserva i rapporti"; vorremmo $f$ affinità, cioè trovare $\varphi$ automorfismo di $\mathbf{V}$ tale che $\overrightarrow{f(A)f(B)}=\varphi(\overrightarrow{AB})\;\;\;\forall\; A,B\in\mathcal{A}$.

Se un tale $\varphi$ esiste, siccome $\mathbf{V}$ è una retta vettoriale, necessariamente, è noto dall'algebra lineare, esiste $\alpha\in\mathbf{K}\setminus\{0\}$ tale che $\varphi(\mathbf{v})=\alpha\mathbf{v}$; dobbiamo quindi dimostrare che esiste $\alpha\in\mathbf{K}\setminus\{0\}$ tale che $\overrightarrow{f(A)f(B)}=\alpha\overrightarrow{AB}\;\;\;\forall\; A,B\in\mathcal{A}$.
Chiaramente se $A=B$ non c'è nulla da dimostrare; possiamo quindi assumere che sia $A\neq B$.
Poiché $\mathbf{V}$ è una retta vettoriale necessariamente esiste $\alpha_{A,B}\in\mathbf{K}\setminus\{0\}$ tale che $\overrightarrow{f(A)f(B)}=\alpha_{A,B}\overrightarrow{AB}$; dobbiamo quindi dimostrare che $\alpha_{A,B}$ non dipende in realtà dai punti $A,B$. Consideriamo allo scopo una seconda coppia di punti distinti $P,Q$: si tratta di dimostrare che $\alpha_{A,B}=\alpha_{P,Q}$.
Sempre dal fatto che $\mathbf{V}$ è una retta vettoriale discende che esiste $\lambda\in\mathbf{K}\setminus\{0\}$ (dipendente da $A,B,P,Q$) tale che $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{PQ}$; sfruttiamo finalmente l'ipotesi "$f$ conserva i rapporti": in virtú di ciò otteniamo $\overrightarrow{f(A)f(B)}=\lambda\overrightarrow{f(P)f(Q)}$ e definitiva possiamo scrivere:
Confrontando le uguaglianze $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{PQ}$ e

\begin{displaymath}\overrightarrow{AB}=\lambda \frac{\alpha_{P,Q}}{\alpha_{A,B}}\overrightarrow{PQ}\end{displaymath}

otteniamo proprio .

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