Teorema di Leonardo
Sia G un sottogruppo di M con un numero finito di elementi. Allora introdotto un opportuno sistema di coordinate abbiamo che G può essere solo uno dei seguenti gruppi:

intuitivamente
se G ha un numero finito di elementi non può contenere traslazioni (altrimenti conterrebbe tutti i multipli interi di quella traslazione che sono infiniti), e analogamente non può contenere glissoriflessioni. Dunque, per il Teorema di Charles potrà contenere solo rotazioni e riflessioni.
Inoltre si dimostra che esiste un punto del piano che viene mandato in se stesso da ogni elemento di G; prendiamo questo punto come origne delle coordinate.
Se G contiene solo rotazioni, essendo in numero finito, ne avrà una minima . Questa sarà l'elemento generatore del gruppo Cn.
Se contiene più di una riflessione non banale conterrà di conseguenza anche delle rotazioni. Una qualunque delle riflessioni e la rotazione minima saranno i generatori di Dn.

Questo teorema è stato formulato da Leonardo da Vinci il quale voleva determinare sistematicamente tutte le possibili simmetrie di un edificio a pianta centrale, e trovare il modo di innestarvi nicchie e cappelle senza distruggere la simmetria del nucleo.


Proposizione
Sia G un gruppo discreto; allora il suo gruppo puntuale P_G è Cn oppure Dn

intuitivamente
G discreto implica P_G discreto. Ma P_G è un sottogruppo di O e un sottogruppo discreto di O deve essere per forza finito.
Infatti si vede che se fosse infinito, le rotazioni di P_G sarebbero infinite e si potrebbero trovare inevitabilmente rotazioni piccole a piacere, cosa che contraddirebbe l'ipotesi posta su G di essere discreto.
Dal momento che P_G è finito il Teorema di Leonardo conclude la dimostrazione.