Il seguente teorema classifica le possibili isometrie di E² in quattro tipi diversi:

Teorema di Charles   Data ƒ M   Se ƒ fissa un punto è una rotazione o una riflessione   Se ƒ non fissa alcun punto     è una traslazione ( tv )     oppure una glissoriflessione (composizione di una riflessione e di una traslazione parallela all'asse di riflessione)

Definizione -Sia G un gruppo di isometrie. Si definiscono:

LG = { v R2 | tv G }

gruppo delle traslazioni di G.

PG = { φ O | ƒ G | ƒ = tv o φ }

gruppo puntuale di G.

Intuitivamente preso un gruppo G attraverso L_G descrivo le traslazioni del gruppo e attraverso P_G tutte le rotazioni di centro l'origine e le riflessioni di asse una retta per l'origine che intervengono a formare le isometrie del gruppo.