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Introduzione
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Rosoni decorativi, quadri geometrici di artisti famosi, antichi simboli religiosi, foglie e fiori regolari, sono tutte suggestive immagini che possono essere usate come esempi per studiare le trasformazioni rigide del piano e formare addirittura, prima a livello intuitivo ed in seguito, in maniera più rigorosa, teorie sulle simmetrie, sui gruppi di isometrie ed in particolare sui gruppi di simmetria di una figura.

La parola simmetria (dal greco συμμετρια ) è sinonimo di 'giusta proporzione' o anche 'proprietà geometrica di solidi e di esseri viventi'.
Nel linguaggio comune, quando si parla di simmetrie si è soliti riferirsi a quella che in matematica viene chiamata 'simmetria bilaterale' ovvero una figura è simmetrica se posso dividerla in due parti uguali e speculari.
Ma questa concezione è stata generalizzata, dando alla parola simmetria un più ampio significato geometrico, ovvero aggiungendo alla semplice simmetria, diciamo a specchio, tutti i possibili movimenti che riportano una figura in se stessa.
E' proprio in questi termini che un gruppo di movimenti rigidi descrive esattamente la simmetria di una figura e, viceversa, attraverso una figura posso visualizzare gli elementi di un gruppo di isometrie.

Consideriamo ad esempio quest' immagine animata:

a prima vista si nota che la figura ritorna su se stessa se viene ruotata di 30° intorno al suo centro, oppure ribaltata (riflessione) rispetto ai due assi colorati in blu ed in rosso.
Osservandola poi più approfonditamente, si vede che qualunque altra rotazione di angolo multiplo intero di trenta gradi, e qualunque altra riflessione di asse una retta passante per un vertice ed il centro, la riportano su se stessa.
Ora, tutti questi movimenti, chiamati anche simmetrie, considerati insieme, formano un gruppo,e questo gruppo ci dice che tipo di simmetria ha la figura sopra riportata. Per questo motivo si chiama proprio gruppo di simmetria della Figura.