Elementi introduttivi al gruppo dei rosoni
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Introduco ora alcuni elementi, definizioni e proposizioni necessari per capire quali e quanti sono i gruppi di simmetria dei rosoni.
Molti termini che verranno usati, dopo la prima volta, saranno riportati attraverso delle abbreviazioni (simboli). In caso si incontri un simbolo di cui non ci si ricordi il significato, potrà essere facilmente ritrovato nella sezione del menu 'simboli'.

Piano Euclideo
Ci troviamo nel piano euclideo, un piano affine ottenuto dallo spazio vettoriale euclideo.
Su tale piano fissiamo un riferimento cartesiano standard:

E = Oe₁e₂

Ricordiamo inoltre che proprio per definizione di spazio vettoriale euclideo su tale spazio è fissato il prodotto scalare standard, che permette di definire la distanza euclidea e la misura degli angoli.

Definizione - Una Figura F è un sottoinsieme del piano.

D'ora in avanti il piano euclideo verrà indicato con E² e lo spazio vettoriale relativo R².

Gruppo M delle isometrie
Fra tutte le possibili trasmormazioni di E² in se stesso considero le isometrie.
Per movimento rigido del piano si intende un movimento che non provoca deformazioni alle figure di E^2, a cui viene applicato, conservando le distanze fra i punti e gli angoli. Presa una figura F ed una isometria ƒ la figura ƒ(F) sarà congruente a F.

Definizione - Una isometria, o movimento rigido del piano, ƒ, è un'applicazione del piano in sè che si scrive come:

ƒ = t_v o φ

dove t_v è una traslazione del piano relativa al vettore v, e φ un endomorfismo unitario (applicazione lineare biiettiva che preserva il prodotto scalare).
Si dimostra che la scrittura ƒ = t_v o φ è unica.