Gruppi discreti
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Analizziamo ora dei particolari sottogruppi di M , denotati dalla condizione di dovere contenere una rotazione minima.
Nell'esempio dell'introduzione tale condizione è stata rispettata infatti la rotazione minima era 20°.
Una volta capito in maniera chiara che cos'è il gruppo di simmetria di una figura, sarà interessante pensare a come potrebbe essere una figura nel cui gruppo di simmetria esistono rotazioni ma non esiste una rotazione minima.

Definizione - Un gruppo di isometrie si dice discreto se non contiene nè traslazioni nè rotazioni arbitrariamente piccole.
Più precisamente G è discreto se esiste un numero reale ε > 0 tale che:

• se t_v G allora la lunghezza di v è maggiore o uguale a ε: |v| ≥ ε
• se ρ_θ G allora l'ampiezza di θ è maggiore o uguale a ε: |θ| ≥ ε

E' possibile studiare un gruppo discreto attraverso l'analisi del suo gruppo delle traslazioni L_G e del suo gruppo puntuale P_G.

Proposizione
Se G è discreto, allora L_G può essere solo uno dei seguenti gruppi:

1. L_G= <0>
   questo è il gruppo generato da 0, il che significa che in G non ci sono traslazioni.
   
   
2. L_G= { nv | n Z }, v vettore non nullo
   In questo caso G è un gruppo di simmetria dei fregi (nome che viene dai fregi degli antichi edifici decorati con figure o motivi che si ripetono fino a riempire una striscia del piano).
   
   
3. L_G= {nv + mw | n,m Z }, con v e w vettori linearmente indipendenti (come vettori di R² )
   In questo caso G è un gruppo cristallografico piano.
   Ad esempio, sono gruppi cristallografici piani i gruppi di simmetria delle decorazioni dell'Alhambra di Granada, dei piastrellamenti di alcuni quadri di Escher e più in generale di un qualsiasi piastrellamento regolare del piano.
   In realtà, però, tale nome deriva dagli studi cristallografici.
   I cristalli in stato solido, infatti, sono contraddistinti dalla proprietà della ripetizione regolare di un motivo nella loro struttura molecolare (scoperta ipotizzata già nel diciottesimo secolo da R. J. Haüy).