La terza regola è la meno intuitiva, risulterà quindi più chiara, guardandola attraverso un esempio animato:

Definizione - L'insieme di tutte le isometrie munito della composizione forma un gruppo denotato con Isom(E² ), che chiamerò per semplicità M:

L'elemento neutro di M, cioè l'identità, verrà indicato con 1.
I suoi sottogruppi sono detti gruppi di isometrie.
In particolare teniamo in considerazione il gruppo delle isometrie che fissano l'origine del sistema di riferimento:

O = { ƒ M | ƒ(O) = O }