Rappresentazione delle quadriche

Quadriche formate da due piani

Le seguenti equazioni di secondo grado sono prodotti di equazioni di primo grado e pertanto rappresentano coppie di piani. La quadrica di equazione

$\displaystyle \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2}=0$

rappresenta in campo reale solo i punti dell'asse $\,z$ ; ma in campo complesso si ha:

$\displaystyle \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle y^2}{\t... ...{\textstyle x}{\textstyle a_1}-i\frac{\textstyle y}{\textstyle a_2}\right)=0$

e quindi la superficie è formata dai due piani (complessi) di equazione

$\displaystyle \gamma_1:\frac{\textstyle x}{\textstyle a_1}+i\frac{\textstyle y... ...:\frac{\textstyle x}{\textstyle a_1}-i\frac{\textstyle y}{\textstyle a_2}=0.$

La quadrica di equazione

$\displaystyle \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}-\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2}=0$

rappresenta due piani reali non paralleli. In effetti si ha:

$\displaystyle \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}-\frac{\textstyle y^2}{\t... ...c{\textstyle x}{\textstyle a_1}-\frac{\textstyle y}{\textstyle a_2}\right)=0$

e quindi la superficie è formata dai due piani di equazione

$\displaystyle \beta_1:\frac{\textstyle x}{\textstyle a_1}+\frac{\textstyle y}{... ...2:\frac{\textstyle x}{\textstyle a_1}-\frac{\textstyle y}{\textstyle a_2}=0.$

Se consideriamo, invece, l'equazione

$\displaystyle \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}-1=0 \qquad (\Rightarrow x^2 = a_1^2\,)$

con $\,a_1>0$ , essa rappresenta i due piani reali, distinti e paralleli di equazioni

$\displaystyle \beta_1:x=\sqrt{a_1}\qquad\qquad \beta_2:x=-\sqrt{a_1}.$

Anche l'equazione

$\displaystyle \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+1=0$

(sempre con $\,a_1>0$ ) è suddivisibile in due piani distinti e paralleli che, però, sono complessi coniugati.

Piani doppi

Infine la quadrica d'equazione $\qquad x^2=0\qquad$ rappresenta il piano $\;x=0\;$ contato due volte.