Rappresentazione delle quadriche

Coni quadrici

Un cono $\,K\,$ di vertice il punto $\,V\,$ è una superficie $\,S\,$ che gode della seguente proprietà: per ogni punto $\,P \neq V\,$ di $\,K$ , la retta $\,VP\,$ è completamente contenuta in $\,K$ .
Una funzione $\,f(x,y,z)\,$ si dice omogenea di grado k se si ha:
$\;f(tx,ty,tz) = t^{\textit{k}}f(x,y,z)\;$ per ogni scelta di $\,t,\,x,\,y,\,z$ . L'equazione $\qquad ax^2 + by^2 + cz^2 = 0 \qquad (a,\,b,\,c\,\neq 0)\quad$ rappresenta un cono di vertice l'origine $\,O$ , poiché è omogenea di secondo grado.
Infatti se prendiamo un punto $\;P(x_0,y_0,z_0) \neq 0 \;$ tale che $\;f(x_0,y_0,z_0)=0\;$ allora la retta $\,r = OP\,$ è tutta contenuta nella superficie dal momento che $\,r\,$ ha equazioni:
$\quad x=x_0t,\;y=y_0t,\;z=z_0t \;\;$ e $\;\;f(x_0t,y_0t,z_0t) = t^2f(x_0,y_0,z_0)= t^2 \cdot 0=0$ .
Se $\,a,\,b,\,c\,$ hanno lo stesso segno, in campo reale esso è costituito dal solo punto $\,O$ , il suo vertice. È il caso della quadrica $\,\mathcal{Q} \,$ di equazione ridotta

$\displaystyle \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2} +\frac{\textstyle z^2}{\textstyle a_3^2}=0$

dove $\;a_1,\,a_2,\,a_3\;$ sono $\,>\,0$ . Tale cono è anche detto semi-immaginario.

Se consideriamo la quadrica con equazione ridotta

$\displaystyle \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2} -\frac{\textstyle z^2}{\textstyle a_3^2}=0$

dove $\;a_1,\,a_2,\,a_3\;$ sono $\,>\,0$ , essa rappresenta un cono reale di vertice l'origine. Gli assi coordinati sono assi di simmetria e i piani coordinati sono piani di simmetria. Le intersezioni con i piani $\;z=h\;$ sono ellissi che diventano sempre più grandi al crescere di $\,h\,$ (in modulo).