ClockEllissoide

ClockIperboloide a una falda

ClockIperboloide a due falde

ClockParaboloide ellittico

ClockParaboloide iperbolico

ClockQuadriche rigate

ClockConi quadrici

ClockCilindri quadrici

Clock Quadriche formate da due piani

ClockPiani doppi

Rappresentazione delle quadriche


Cilindri quadrici

Una superficie $ \,S\,$ è un cilindro se è unione di rette tutte parallele ad una stessa retta (o ad uno stesso vettore). Tali rette si chiamano generatrici del cilindro. Una curva $ \,\Gamma\,$ contenuta in $ \,S\,$ e che incontra tutte le generatrici si chiama direttrice di $ \,S$. In generale un'equazione del tipo $ \,ax^2+by^2+c=0\,$ in cui non compare la $ \,z\,$ rappresenta, nello spazio, un cilindro avente generatrici parallele all'asse $ \,z\,$ che incontrano, nel piano $ \,Oxy \,$ la curva di equazione $ \; \Gamma:ax^2+by^2+c=z=0$.
Basta infatti osservare che se $ \;P(x_0,y_0,z_0)\;$ è un punto della superficie, ciò significa che si ha $ \,ax_0^2+by_0^2+c=0\,$ indipendentemente dal valore di $ \,z_0$. Pertanto ogni altro punto $ \;Q(x_0,y_0,z_0\prime)\;$ della retta per $ \,P\,$ e parallela all'asse $ \,z\,$ soddisfa l'equazione, comunque si faccia variare $ \,z_0\prime$; cioè l'intera retta per $ \,Q\,$ e parallela all'asse $ \,z\,$ è contenuta nella superficie. Consideriamo la quadrica di equazione ridotta

$\displaystyle \mathcal{Q}:\;
\frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle
y^2}{\textstyle a_2^2} -1=0
$

dove $ \;a_1,\,a_2\;$ sono $ \,>\,0$; essa rappresenta, per quanto detto, un cilindro con generatrici parallele all'asse $ \,z$. Le intersezioni con i piani $ \;z=h\;$ sono tutte ellissi uguali di equazione $ \Gamma:\; \frac{\textstyle
x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2}
-1=0 \qquad z=h. $
Da qui il nome cilindro ellittico. L'equazione ridotta del cilindro

$\displaystyle \mathcal{Q}:\;
\frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle
y^2}{\textstyle a_2^2} +1=0
$

dove $ \;a_1,\,a_2\;$ sono $ \,>\,0$, non è soddisfatta da alcun punto reale.
Da qui il nome cilindro ellittico immaginario. Consideriamo ora il cilindro di equazione ridotta

$\displaystyle \mathcal{Q}:\;
\frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}-\frac{\textstyle
y^2}{\textstyle a_2^2} -1=0
$

dove $ \;a_1,\,a_2\;$ sono $ \,>\,0$; le intersezioni con i piani $ \;z=h\;$ sono tutte iperboli uguali di equazione $ \Gamma:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle
a_1^2}-\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2}
-1=0 \qquad z=h. $
Da qui il nome cilindro iperbolico.




Considerando, infine, il cilindro di equazione ridotta

$\displaystyle \mathcal{Q}:\;
\frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}-2y=0
$

con $ \;a_1>0\;$ vediamo che le intersezioni con i piani $ \;z=h\;$ sono delle parabole tutte uguali di equazione $ \Gamma:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1
^2}-2y=0 \qquad z=h. $
Da qui il nome cilindro parabolico.