Rappresentazione delle quadriche

Cilindri quadrici

Una superficie $\,S\,$ è un cilindro se è unione di rette tutte parallele ad una stessa retta (o ad uno stesso vettore). Tali rette si chiamano generatrici del cilindro. Una curva $\,\Gamma\,$ contenuta in $\,S\,$ e che incontra tutte le generatrici si chiama direttrice di $\,S$ . In generale un'equazione del tipo $\,ax^2+by^2+c=0\,$ in cui non compare la $\,z\,$ rappresenta, nello spazio, un cilindro avente generatrici parallele all'asse $\,z\,$ che incontrano, nel piano $\,Oxy \,$ la curva di equazione $\; \Gamma:ax^2+by^2+c=z=0$ .
Basta infatti osservare che se $\;P(x_0,y_0,z_0)\;$ è un punto della superficie, ciò significa che si ha $\,ax_0^2+by_0^2+c=0\,$ indipendentemente dal valore di $\,z_0$ . Pertanto ogni altro punto $\;Q(x_0,y_0,z_0\prime)\;$ della retta per $\,P\,$ e parallela all'asse $\,z\,$ soddisfa l'equazione, comunque si faccia variare $\,z_0\prime$ ; cioè l'intera retta per $\,Q\,$ e parallela all'asse $\,z\,$ è contenuta nella superficie. Consideriamo la quadrica di equazione ridotta

$\displaystyle \mathcal{Q}:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2} -1=0$

dove $\;a_1,\,a_2\;$ sono $\,>\,0$ ; essa rappresenta, per quanto detto, un cilindro con generatrici parallele all'asse $\,z$ . Le intersezioni con i piani $\;z=h\;$ sono tutte ellissi uguali di equazione $\Gamma:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2} -1=0 \qquad z=h.$
Da qui il nome cilindro ellittico. L'equazione ridotta del cilindro

$\displaystyle \mathcal{Q}:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2} +1=0$

dove $\;a_1,\,a_2\;$ sono $\,>\,0$ , non è soddisfatta da alcun punto reale.
Da qui il nome cilindro ellittico immaginario. Consideriamo ora il cilindro di equazione ridotta

$\displaystyle \mathcal{Q}:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}-\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2} -1=0$

dove $\;a_1,\,a_2\;$ sono $\,>\,0$ ; le intersezioni con i piani $\;z=h\;$ sono tutte iperboli uguali di equazione $\Gamma:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}-\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2} -1=0 \qquad z=h.$
Da qui il nome cilindro iperbolico.

Considerando, infine, il cilindro di equazione ridotta

$\displaystyle \mathcal{Q}:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}-2y=0$

con $\;a_1>0\;$ vediamo che le intersezioni con i piani $\;z=h\;$ sono delle parabole tutte uguali di equazione $\Gamma:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1 ^2}-2y=0 \qquad z=h.$
Da qui il nome cilindro parabolico.