Rappresentazione delle quadriche

Iperboloide a due falde

Superficie data dall'equazione ridotta $\mathcal{Q}:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}-\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2} -\frac{\textstyle z^2}{\textstyle a_3^2}-1=0$
dove $\;a_1,\,a_2,\,a_3\;$ sono $\,>\,0$ . Gli elementi di simmetria sono gli stessi dei casi precedenti. I piani $\,z = h\,$ intersecano la quadrica secondo un'iperbole il cui asse trasverso è sempre parallelo all'asse $\,x$ . Analogamente dicasi dei piani $\,y = h$ . Invece un piano $\,x = h\,$ interseca $\,\mathcal{Q}\,$ in un'ellisse se $\;h^2 / a_1^2 \;>\,1, \;$ ossia $\linebreak\;h>a_1\,$ o $\,h<-a_1$ , sono ridotte a un punto reale se $\;h=\pm a_1$ . L'intersezione con $\,x = h\,$ non contiene punti reali se $\;-a_1 < h < a_1$ .
In particolare il piano $\,x = 0\,$ non interseca $\,\mathcal{Q}$ . Vuol dire che $\,\mathcal{Q}\,$ si compone di due parti distinte (le due "falde"), simmetriche rispetto a questo piano.

Iperboloide di rotazione a due falde

Se $\;a_2 = a_3 \quad \mathcal{Q}\,$ si ottiene facendo ruotare attorno all'asse $\,x\,$ l'iperbole di equazione

$\displaystyle \gamma: \;\frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}-\frac{\textstyle z^2}{\textstyle a_3^2} - 1 = 0 \, ,\qquad y = 0.$