Rappresentazione delle quadriche

Paraboloide ellittico

Superficie data dall'equazione ridotta $\mathcal{Q}:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2} -2z=0$
dove $\;a_1,\,a_2\;$ sono $\,>\,0$ . Sappiamo già che non esiste un centro di simmetria ed è immediato verificare che solo l'asse $\,z\,$ è asse di simmetria. I piani di simmetria sono $\;x=0 \;$ e $\;y=0$ ; non ce ne sono altri se $\;a_1 \neq a_2$ . L'intersezione di $\,\mathcal{Q}\,$ con i piani $\;x=h \;$ sono parabole con asse parallelo all'asse $\,z\,$ e vertice sulla parabola $\gamma: \;y=0, \qquad \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2} -2z=0$ . Analogamente l'intersezioni con i piani $\;y=h \;$ sono parabole con asse parallelo all'asse $\,z\,$ e vertice sulla parabola $\gamma: \;x=0, \qquad \frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2} -2z=0$ . L'intersezione di $\,\mathcal{Q}\,$ con i piani $\;z=h \;$ sono ellissi per $\;h>0$ , che diventano sempre più grandi al crescere di $\,h$ .
L'intersezione con $\;z=0 \;$ è un unico punto reale, mentre i piani $\;x=h \;$ con $\;h<0\;$ non intersecano $\,\mathcal{Q}\,$ in nessun punto reale. Ciò vuol dire che $\,\mathcal{Q}\,$ è tutta al di sopra del piano $\;z=0$ . Paraboloide di rotazione Se $\;a_1 = a_2 \quad \mathcal{Q}\,$ si ottiene facendo ruotare attorno all'asse $\,z\,$ la parabola di equazione

$\displaystyle \gamma: \;x=0, \qquad \frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_1^2} -2z=0.$