Rappresentazione delle quadriche

Iperboloide a una falda

Superficie data dall'equazione ridotta $\mathcal{Q}:\; \frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2} -\frac{\textstyle z^2}{\textstyle a_3^2}-1=0$
dove $\;a_1,\,a_2,\,a_3\;$ sono $\,>\,0$ . Con lo stesso procedimento usato per l'ellissoide si vede che i piani coordinati, gli assi coordinati e $\;O\;$ sono elementi di simmetria di $\mathcal{Q}$ . Se $\;a_1 \neq a_2 \;$ non ce ne sono altri. Le intersezioni con i piani $\,z = h\,$ sono ellissi che diventano sempre più grandi, e tendono all'infinito al crescere di $\,h\,$ in valore assoluto. Le intersezioni con i piani $\;x = h,\;y = h \;$ sono iperboli. Queste iperboli sono equilatere se $\;a_1 = a_3\;$ (per i piani $\;x = h$ ) o $\;a_2 = a_3\;$ (per i piani $\;y = h$ ).

Iperboloide di rotazione a una falda

Se $\;a_1 = a_2 \quad \mathcal{Q}\,$ si ottiene facendo ruotare attorno all'asse $\,z\,$ l'iperbole di equazione

$\displaystyle \gamma: \;\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_1^2}-\frac{\textstyle z^2}{\textstyle a_3^2} - 1 = 0 \, ,\qquad x = 0.$