Ellissoide

Iperboloide a una falda

Iperboloide a due falde

Paraboloide ellittico

Paraboloide iperbolico

Quadriche rigate

Coni quadrici

Cilindri quadrici

Quadriche formate da due piani

Piani doppi

Rappresentazione delle quadriche

Ellissoide

Superficie data dall'equazione ridotta $\mathcal{Q}:\; \displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}+\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2} +\displaystyle\frac{z^2}{a_3^2}-1=0$
dove $\;a_1,\,a_2,\,a_3\;$ sono $\,>\,0$. Sappiamo che è dotata di un unico centro $\:O\:$ di simmetria, in questo caso $\:O=(0,0,0)$, quindi se $\;P=(x,y,z) \in \mathcal{Q}\;$ allora il simmetrico rispetto a $\,O\,$ cioè $\; P'=(-x,-y,-z)\,$ sta su $\,\mathcal{Q}$.

Osserviamo che se $\;P=(x,y,z) \in \mathcal{Q}\;$ anche $\; P'=(-x,-y,z)\,$ sta su $\,\mathcal{Q}$. Ciò vuol dire che se $P$ sta su $\,\mathcal{Q}\,$ anche il simmetrico di $P$ rispetto all'asse $z$ sta su $\,\mathcal{Q}$. Quindi l'asse $z$ è asse di simmetria per $\,\mathcal{Q}$.
In modo analogo si vede che anche gli altri assi coordinati sono assi di simmetria.

Se $\;P=(x,y,z) \in \mathcal{Q}\;$ si vede che anche $\; P'=(-x,y,z)\,$ sta su $\,\mathcal{Q}$. Ciò vuol dire che se $P$ sta su $\,\mathcal{Q}\,$ anche il simmetrico di $P$ rispetto al piano $\,x=0\,$ sta su $\,\mathcal{Q}$. Allora il piano $\,x=0\,$ risulta essere un piano di simmetria per $\,\mathcal{Q}$.
Analogamente si vede che anche gli altri piani coordinati sono piani di simmetria e non ce ne sono altri se $\;a_1,\,a_2,\,a_3\;$ sono tutti diversi.

Se intersechiamo l'ellissoide con il piano $\,z = h\,$ otteniamo

$$\displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}+\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2} = 1 - \displaystyle\frac{h^2}{a_3^2}.$$

Si tratta di una ellisse (a punti reali) se $\;(h^2 / a_3^2) < 1$, ossia $\;-a_3 < h < a_3$, di un solo punto reale se $\;h = \pm \,a_3$. L'intersezione non contiene punti reali se $\; \vert h\vert > \,a_3$. In particolare $\,\mathcal{Q}\,$ è tutta compresa tra i due piani di equazione $\;z = \pm h$. In modo analogo si ragiona per piani del tipo $\,x = h,\; \,y = h$. I numeri $\;a_1,\,a_2,\,a_3\;$ si chiamano semiassi dell'ellissoide $\,\mathcal{Q}$. Da tutte queste considerazioni possiamo avere un'idea della forma di $\,\mathcal{Q}$.



Ellissoide di rotazione

Se due dei semiassi sono uguali, $\,\mathcal{Q}\,$ è una superficie di rotazione attorno a uno degli assi. Ad esempio se $\;a_1 = a_2 \;$ l'equazione di $\,\mathcal{Q}\,$ diventa:

$$\frac{\textstyle{x^2+y^2}}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle z^2}{\textstyle a_3^2} - 1 = 0.$$

quindi $\,\mathcal{Q}\,$ si ottiene ruotando l'ellisse

$$\gamma : \left\{ \begin{array}{l} \frac{\textstyle y^2}{\... ...tstyle a_3^2} - 1 = 0 \\ x = 0 \\ \end{array} \right.$$

attorno all'asse $\;z$. Se i tre semiassi sono uguali, $\,\mathcal{Q}\,$ è una superficie sferica di centro $\,O$.

Nella classificazione euclidea abbiamo trovato un'equazione del tipo

$$\mathcal{Q}:\; -\frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}-\frac{\t... ...xtstyle y^2}{\textstyle a_2^2} +\frac{\textstyle z^2}{\textstyle a_3^2}+1=0.$$

Si vede subito che non esistono punti reali che soddisfano l'equazione di $\,\mathcal{Q}$. Da qui il nome Ellissoide immaginario.