Ellissoide
Superficie data dall'equazione ridotta
dove
sono .
Sappiamo che è dotata di un unico centro di simmetria,
in questo caso
, quindi se
allora il simmetrico rispetto a cioè
sta su
.
Osserviamo che se
anche
sta su
. Ciò vuol dire che se
sta su
anche il simmetrico di rispetto
all'asse
sta su
. Quindi l'asse è asse di simmetria per
.
In modo analogo si vede che anche gli altri assi coordinati sono
assi di simmetria.
Se
si vede che anche
sta su
. Ciò vuol dire che se
sta su
anche il simmetrico di rispetto
al piano sta su
. Allora il piano risulta essere
un piano di simmetria per
.
Analogamente si vede che anche gli altri piani coordinati sono
piani di simmetria e non ce ne sono altri se
sono tutti diversi.
Se intersechiamo l'ellissoide con il piano otteniamo
Si tratta di una ellisse (a punti reali) se
, ossia
, di un solo punto reale se
. L'intersezione non contiene punti reali se
. In particolare
è tutta compresa
tra i due piani di equazione
.
In modo analogo si ragiona per piani del tipo
.
I numeri
si chiamano semiassi
dell'ellissoide
.
Da tutte queste considerazioni possiamo avere un'idea della forma
di
.
Ellissoide di rotazione
Se due dei semiassi sono uguali,
è una
superficie di rotazione attorno a uno degli assi. Ad esempio se
l'equazione di
diventa:
quindi
si ottiene ruotando l'ellisse
attorno all'asse .
Se i tre semiassi sono uguali,
è una
superficie sferica di centro .
Nella classificazione euclidea abbiamo trovato un'equazione del
tipo
Si vede subito che non esistono punti reali che soddisfano
l'equazione di
. Da qui il nome
Ellissoide immaginario.
|