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Calcolo della forma canonica

Vediamo ora come applicare la teoria fin qui vista; cioè data una quadrica $\,\mathcal{Q}\,$ di equazione $\;f(x,y,z)=0\;$ vediamo come operare per ridurla a forma canonica sia nello spazio affine $\,A^3(\mathbb {C}) \;$e$\; A^3(\mathbb {R})\,$ che in quello euclideo $\,E^3$. Vediamo inoltre come riconoscere, data $\,\mathcal{Q}\,$, di che tipo di quadrica si tratta senza svolgere i calcoli, ma usando i valori degli invarianti affini o euclidei. Esempio 1:   Sia data la quadrica di equazione $$\mathcal{Q}: \,3x^2+y^2-z^2+2xy-2x+4z+5=0;$$ cerchiamo la forma canonica affine che risulta essere equivalente a $\,\mathcal{Q}$. La matrice associata a $\,\mathcal{Q}$, e quella associata alla parte quadratica sono: $$\mathcal{A}\: = \left( \begin{array}{cccc} 5 & -1 & 0 & 2... ...0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right)$$ risulta $\;det\mathcal{A} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad r(Q)=4 \quad \Rightarrow \mathcal{Q}\;$ non degenere. Cerchiamo l'affinità che manda $\,\mathcal{Q} \,$ nella quadrica $\,\mathcal{D} \,$ (forma canonica). In pratica dobbiamo cercare un nuovo riferimento in cui $\,\mathcal{A}_0 \,$ sia diagonale. Per far questo consideriamo la forma quadratica $\,\textbf{q}\,$ associata alla matrice $\,\mathcal{A}_0 \,$ e scegliamo un primo vettore base $\,v_1\,$ per il nuovo riferimento che soddisfi la condizione: $\;q(v_1) \neq 0$. Prendiamo, ad esempio, $\;e_2=\,^t(0,1,0)$; si ha $\;q(e_2)=1\;$ quindi va bene. Calcoliamo ora $\;e_2^{\perp}\;$ cioè $$e_2^{\perp}: \;(0,1,0)\mathcal{A}_0 \left( \begin{array}{c... ... \end{array} \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad x + y = 0.$$ Prendiamo un secondo vettore $\,v_2\,$ che, oltre a soddisfare la precedente condizione, risulti anche tale che $\;q(v_2) \neq 0$. Scegliamo come secondo vettore $\;e_3=\,^t(0,0,1);\quad e_3 \in e_2^{\perp}\;$ e si ha $\;q(e_3)=-1\;$ quindi va bene. Ripetendo le operazioni precedenti si calcola $\;e_3^{\perp} :\;z=0$. Cerchiamo ora il terzo vettore $\,v_3\,$ che formerà la nuova base. Si deve avere: $\;v_3 \in e_2^{\perp} \cap e_3^{\perp}$   e al solito$\quad q(v_3) \neq 0$. Scegliamo come terzo vettore $\;v_3=\,^t(1,-1,0)\;$ che soddisfa le condizioni; risulta $\;q(v_3)=2$. Risulta quindi che $\;\beta=(e_2,e_3,v_3)\;$ è una base diagonalizzante per la forma quadratica che trasforma la matrice $\,\mathcal{A}_0 \,$ in $$\mathcal{B}_0\: = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{array} \right)$$ attraverso l'operazione $\;\mathcal{B}_0=\,^t\mathcal{M}\mathcal{A}_0 \mathcal{M} \;$ dove $$\mathcal{M} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)$$ Tutto ciò vuol dire che se effettuiamo nella quadrica una trasformazione del tipo $$\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{arra... ... z' \\ y = x' - z' \\ z = y' \\ \end{array} \right.$$ si annulleranno i termini di secondo grado misti. Svolgendo i calcoli si ottiene l'equazione $$(x')^2-(y')^2+2(z')^2+4y'-2z'+5=0$$ A questo punto bisogna far sparire i termini di primo grado. Applichiamo il completamento dei quadrati alle variabili $\,y'\,$ e $\,z'$: $$\begin{array}{cl} \; & (x')^2-\left( (y')^2-4y'+4\right)+... ...t)^2+ \frac{\textstyle 17}{\textstyle 2}=0 \\ \end{array}$$ effettuando ora la sostituzione $$\quad \left\{ \begin{array}{l} x'' = x' \\ y'' = y' - 2 ... ...- \frac{\textstyle 1}{\textstyle 2} \\ \end{array} \right.$$ l'equazione della quadrica diventa $$\begin{array}{cl} \; & (x'')^2-(y'')^2+2(z'')^2+\frac{\te... ...rac{\textstyle 4}{\textstyle 17}(z'')^2-1=0 \\ \end{array}$$ A questo punto dobbiamo proseguire in base al tipo di classificazione richiesto:     classificazione affine;         classificazione euclidea.