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Calcolo della forma canonica

Possiamo diagonalizzare $\,\mathcal{A}_0\,$ attraverso una base di autovettori (normalizzati nel caso euclideo) cioè mediante una matrice $\,\mathcal{M}\,$ ortogonale. Vediamo come effettuare tale diagonalizzazione: Esempio 2:   Sia data la quadrica di equazione $$\mathcal{Q}: \,2x^2+y^2+z^2-2yz-4y+3z+1=0;$$ cerchiamo la forma canonica. La matrice associata a $\,\mathcal{Q}$, e quella associata alla parte quadratica sono: $$\mathcal{A}\: = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -2 & 3... ... \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{array} \right)$$ risulta $\;det\mathcal{A} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad r(Q)=4 \quad \Rightarrow \mathcal{Q}\;$ non degenere. Cerchiamo di diagonalizzare $\,\mathcal{A}_0\,$; il suo polinomio caratteristico è $$p(\lambda)= det(\mathcal{A}_0 - \lambda I)=(2-\lambda)((1-\lambda)^2-1)=(2-\lambda)^2\lambda=0$$ ne risulta: $\qquad \lambda = 0$   e$\quad \lambda = 2$ (con molteplicità 2). Calcoliamo gli autovettori: $$V_2:\; \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 &... ... 0 \qquad \Rightarrow y+z=0 \quad \Leftrightarrow \quad z=-y$$ prendiamo i vettori $\quad e_1=(1,0,0)$   e$\quad v=(0,1,-1);\;$ cioè $\;V_2 = <e_1,v>$. Allo stesso modo si ottiene: $\quad V_0: \;x=0 \;$   e$\; y=z; \quad \Rightarrow \quad V_0=<w>\;$con$\quad w=(0,1,1)$. [Nota: Quando ho un autospazio con dimensione $> 1$ devo stare attento a prendere vettori ortogonali all'interno dell'autospazio.] A questo punto abbiamo $\;\beta=(e_1,v,w)\;$ base ortogonale di autovettori. Se vogliamo trovare la forma canonica euclidea occorre normalizzare tale base (per quella affine non è necessario). Otteniamo la matrice che diagonalizza $\,\mathcal{A}_0$: $$\mathcal{M} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0... ...\\ 0 & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ \end{array} \right)$$ Mediante la solita sostituzione $$\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{arra... ...aystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(-y'+ z') \\ \end{array} \right.$$ si annulleranno i termini di secondo grado misti. Svolgendo i calcoli si ottiene l'equazione $$2(x')^2+2(y')^2-\frac{\textstyle 7}{\sqrt{\textstyle 2}} y'- \frac{\textstyle 1}{\sqrt{\textstyle 2}}z'+1=0$$ Applichiamo il completamento dei quadrati alla variabile $\,y'$: $$2(x')^2+2\underbrace{\left( (y')^2-\frac{\textstyle 7}{2\sqrt{\t... ...\textstyle 1}{\sqrt{\textstyle 2}}z'-\frac{\textstyle 49}{\textstyle 16}+1=0$$ svolgendo la sostituzione, otteniamo: $$\left\{ \begin{array}{l} x'' = x' \\ y'' = y' - \frac{... ...frac{\textstyle 33\sqrt{\textstyle 2}}{\textstyle 16}\right)}$$ effettuiamo un'altra sostituzione e otteniamo: $$\left\{ \begin{array}{l} x''' = x'' \\ y''' = y'' \\ ... ...^2+2(y''')^2-\frac{\textstyle 1}{\sqrt{\textstyle 2}} z'''=0$$ Se quello che vogliamo è una classificazione affine reale allora, attraverso un'ultima sostituzione, si ottiene $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{l} \bar{x} = \s... ...oide}\\ \mbox{ellittico}\\ \end{array}\\ \end{array}$$ Se quello che vogliamo, invece, è una classificazione euclidea allora ci fermiamo all'equazione $\quad 2(x''')^2+2(y''')^2-\frac{\textstyle 1}{\sqrt{\textstyle 2}} z'''=0$. Ora se ci riportiamo alla forma $$\frac{\textstyle x^2}{\textstyle a_1^2}+\frac{\textstyle y^2}{\textstyle a_2^2}-2z=0$$ otteniamo un paraboloide ellittico di equazione: $$\frac{\textstyle (x''')^2}{\frac{\textstyle 1}{\textstyle 4\sqrt... ...+ \frac{\textstyle (y''')^2}{\frac{\textstyle 1}{\textstyle 4\sqrt{2}}}-2z=0$$