Esempio 3:
Sia data una quadrica
di
equazione:
trovare la forma canonica affine di
.
La matrice associata a tale quadrica e quella associata alla sua
parte quadratica sono:
risulta
non degenere. Cerchiamo di
diagonalizzare
; il suo polinomio
caratteristico è
ne risulta:
e (con molteplicità 2).
Svolgendo i calcoli come nell'esempio precedente troviamo gli
autovettori:
Se vogliamo fare una classificazione euclidea dobbiamo
normalizzare i vettori mentre per quella affine non occorre.
Otteniamo così la matrice che diagonalizza
:
Con questa sostituzione
è una matrice
diagonale;
cioè sono spariti i termini di secondo grado misti.
La nuova equazione sarà
Effettuando la seguente sostituzione otteniamo:
Attraverso un'ultima sostituzione, si ottiene
Se vogliamo trovare la matrice
associata alla trasformazione che, nella quadrica
, porta l'equazione di partenza a quella canonica
basta riassumere le tre trasformazioni effettuate in una
sola.
( Nota )
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