Clock  Esempio   1

Clock  Esempio   2

Clock  Esempio   3

Calcolo della forma canonica


Esempio 3:

  Sia data una quadrica $ \;\mathcal{Q} \in A^3(\mathbb {R})\;$ di equazione:
$\displaystyle 2x^2+3y^2+3z^2+2yz+2y-2z-4=0;
$
trovare la forma canonica affine di $ \;\mathcal{Q}$.

La matrice associata a tale quadrica e quella associata alla sua parte quadratica sono:

\begin{displaymath}
\mathcal{A}\: = \left(
\begin{array}{cccc}
-4 & 0 & 1 & -...
... 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 3 \\
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

risulta $ \;det\mathcal{A} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad r(Q)=4
\quad \Rightarrow \mathcal{Q}\;$ non degenere. Cerchiamo di diagonalizzare $ \,\mathcal{A}_0\,$; il suo polinomio caratteristico è

$\displaystyle p(\lambda)= det(\mathcal{A}_0 - \lambda
I)=(2-\lambda)((3-\lambda)^2-1)=0
$

ne risulta: $ \qquad \lambda = 4$   e$ \quad \lambda = 2$ (con molteplicità 2).
Svolgendo i calcoli come nell'esempio precedente troviamo gli autovettori:

$\displaystyle (1,0,0); \;(0,1,-1) \;(0,1,1). $

Se vogliamo fare una classificazione euclidea dobbiamo normalizzare i vettori mentre per quella affine non occorre. Otteniamo così la matrice che diagonalizza $ \,\mathcal{A}_0$:

\begin{displaymath}
\mathcal{M} = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0...
...\
y = y' + z' \\
z = -y'+ z' \\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

Con questa sostituzione $ \,\mathcal{A}_0\,$ è una matrice diagonale; cioè sono spariti i termini di secondo grado misti. La nuova equazione sarà

\begin{displaymath}
\begin{array}{cl}
\, & 2(x')^2+4(y')^2+8(z')^2+4y'-4=0\\  ...
...(z')^2-\frac{\textstyle 1}{\textstyle 2}-2=0\\
\end{array}
\end{displaymath}

Effettuando la seguente sostituzione otteniamo:

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x'' = x' \\
y'' = y' +\displa...
...\frac{\textstyle 8}{\textstyle 5}(z'')^2-1=0\\
\end{array}
\end{displaymath}

Attraverso un'ultima sostituzione, si ottiene

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\left\{
\begin{array}{l}
x''' = \disp...
...de}\\
\mbox{immaginario}\\
\end{array}\\
\end{array}
\end{displaymath}

Se vogliamo trovare la matrice $ \;\widetilde{\mathcal{M}}\;$ associata alla trasformazione che, nella quadrica $ \,\mathcal{Q}$, porta l'equazione di partenza a quella canonica basta riassumere le tre trasformazioni effettuate in una sola. ( Nota )

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{clll}
x & = \;x' & = \;x'' & = \;\d...
...aystyle\sqrt{\frac{5}{8}}z'''+ 1/2 \\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}



\begin{displaymath}
\Longrightarrow \; \widetilde{\mathcal{M}} = \frac{\textsty...
...1/2 & 0 & -\sqrt{5/4} & \sqrt{5/8} \\
\end{array}
\right)
\end{displaymath}