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Calcolo della forma canonica

Esempio 3:   Sia data una quadrica $\;\mathcal{Q} \in A^3(\mathbb {R})\;$ di equazione: $$2x^2+3y^2+3z^2+2yz+2y-2z-4=0;$$ trovare la forma canonica affine di $\;\mathcal{Q}$. La matrice associata a tale quadrica e quella associata alla sua parte quadratica sono: $$\mathcal{A}\: = \left( \begin{array}{cccc} -4 & 0 & 1 & -... ... 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{array} \right)$$ risulta $\;det\mathcal{A} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad r(Q)=4 \quad \Rightarrow \mathcal{Q}\;$ non degenere. Cerchiamo di diagonalizzare $\,\mathcal{A}_0\,$; il suo polinomio caratteristico è $$p(\lambda)= det(\mathcal{A}_0 - \lambda I)=(2-\lambda)((3-\lambda)^2-1)=0$$ ne risulta: $\qquad \lambda = 4$   e$\quad \lambda = 2$ (con molteplicità 2). Svolgendo i calcoli come nell'esempio precedente troviamo gli autovettori: $$(1,0,0); \;(0,1,-1) \;(0,1,1).$$ Se vogliamo fare una classificazione euclidea dobbiamo normalizzare i vettori mentre per quella affine non occorre. Otteniamo così la matrice che diagonalizza $\,\mathcal{A}_0$: $$\mathcal{M} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0... ...\ y = y' + z' \\ z = -y'+ z' \\ \end{array} \right.$$ Con questa sostituzione $\,\mathcal{A}_0\,$ è una matrice diagonale; cioè sono spariti i termini di secondo grado misti. La nuova equazione sarà $$\begin{array}{cl} \, & 2(x')^2+4(y')^2+8(z')^2+4y'-4=0\\ ... ...(z')^2-\frac{\textstyle 1}{\textstyle 2}-2=0\\ \end{array}$$ Effettuando la seguente sostituzione otteniamo: $$\left\{ \begin{array}{l} x'' = x' \\ y'' = y' +\displa... ...\frac{\textstyle 8}{\textstyle 5}(z'')^2-1=0\\ \end{array}$$ Attraverso un'ultima sostituzione, si ottiene $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{l} x''' = \disp... ...de}\\ \mbox{immaginario}\\ \end{array}\\ \end{array}$$ Se vogliamo trovare la matrice $\;\widetilde{\mathcal{M}}\;$ associata alla trasformazione che, nella quadrica $\,\mathcal{Q}$, porta l'equazione di partenza a quella canonica basta riassumere le tre trasformazioni effettuate in una sola. ( Nota ) $$\left\{ \begin{array}{clll} x & = \;x' & = \;x'' & = \;\d... ...aystyle\sqrt{\frac{5}{8}}z'''+ 1/2 \\ \end{array} \right.$$ $$\Longrightarrow \; \widetilde{\mathcal{M}} = \frac{\textsty... ...1/2 & 0 & -\sqrt{5/4} & \sqrt{5/8} \\ \end{array} \right)$$