Classificazione Esempio 1 Esempio 2 Esempio 3

Classificazione veloce delle quadriche

È possibile riconoscere il tipo di una quadrica senza ridurla a forma canonica. In $\:A^3(\mathbb {R})\:$ abbiamo 17 classi d'equivalenza di quadriche di cui: 6 con $r(\mathcal{A}) = 4;$ 6 con $r(\mathcal{A}) = 3;$ 4 con $r(\mathcal{A}) = 2;$ 1 con $r(\mathcal{A}) = 1;$ Le prime sei sono quadriche non degeneri che possiamo schematizzare nel seguente modo: $$\begin{array}{ll} r(\mathcal{A}_0)=3 & \left\{ \begin{arra... ...oide iperbolico} \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$$ Le sei quadriche del secondo punto, cioe quelle con la rispettiva matrice di rango 3 sono quadriche degeneri del tipo cono o cilindro. Possiamo schematizzarle nel seguente modo: $$\begin{array}{ll} r(\mathcal{A}_0)=3 & \left\{ \begin{a... ...ay} \right. \end{array} \right. \\ \\ \\ \end{array}$$ $$\begin{array}{ll} r(\mathcal{A}_0)=2 & \left\{ \begin{array}{l}... ...2-1=0 \quad \emph{Cilindro iperbolico} \\ \end{array} \right. \end{array}$$ $r(\mathcal{A}_0)=1 \quad x^2-y=0 \quad \emph{Cilindro parabolico}$ Le quadriche restanti sono formate da coppie di piani reali o complesse coniugate. Nel caso di quadrica con rango 2 abbiamo: $$\begin{array}{ll} r(\mathcal{A}_0)=2 & \left\{ \begin{a... ...h{Piani reali e paralleli} \end{array} \right. \end{array}$$ Infine quando il rango della quadrica è uno si ha il piano doppio di equazione $\;x^2=0$. Per calcolare $\;seg(\mathcal{A}) \;$e$\;seg(\mathcal{A}_0)\;$ è conveniente calcolare il polinomio caratteristico di tali matrici e poi applicare la regola di Cartesio a tali polinomi. (Nota: il polinomio caratteristico ha solo radici reali perchè gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali.) Naturalmente questo schema di riconoscimento delle quadriche è valido anche nel caso euclideo. Sappiamo già che per una quadrica non degenere in $\;E^3(\mathbb {R})\;$ è possibile calcolare la forma canonica utilizzando le formule introdotte nella proposizione della classificazione euclidea.