ClockClassificazione

ClockEsempio 1

ClockEsempio 2

ClockEsempio 3

Classificazione veloce delle quadriche



È possibile riconoscere il tipo di una quadrica senza ridurla a forma canonica. In $ \:A^3(\mathbb {R})\:$ abbiamo 17 classi d'equivalenza di quadriche di cui:
  • 6 con $ r(\mathcal{A}) = 4;$
  • 6 con $ r(\mathcal{A}) = 3;$
  • 4 con $ r(\mathcal{A}) = 2;$
  • 1 con $ r(\mathcal{A}) = 1;$
Le prime sei sono quadriche non degeneri che possiamo schematizzare nel seguente modo:


\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
r(\mathcal{A}_0)=3 & \left\{ \begin{arra...
...oide iperbolico} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\end{displaymath}



Le sei quadriche del secondo punto, cioe quelle con la rispettiva matrice di rango 3 sono quadriche degeneri del tipo cono o cilindro. Possiamo schematizzarle nel seguente modo:


\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
r(\mathcal{A}_0)=3 & \left\{
\begin{a...
...ay} \right.
\end{array} \right. \\  \\  \\
\end{array}
\end{displaymath}

$\displaystyle \begin{array}{ll}
r(\mathcal{A}_0)=2 & \left\{
\begin{array}{l}...
...2-1=0 \quad \emph{Cilindro iperbolico} \\
\end{array} \right.
\end{array}
$


$ r(\mathcal{A}_0)=1 \quad x^2-y=0 \quad \emph{Cilindro
parabolico} $

Le quadriche restanti sono formate da coppie di piani reali o complesse coniugate. Nel caso di quadrica con rango 2 abbiamo:

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
r(\mathcal{A}_0)=2 & \left\{
\begin{a...
...h{Piani reali e paralleli}
\end{array} \right.
\end{array}
\end{displaymath}



Infine quando il rango della quadrica è uno si ha il piano doppio di equazione $ \;x^2=0$.

Per calcolare $ \;seg(\mathcal{A}) \;$e$ \;seg(\mathcal{A}_0)\;$ è conveniente calcolare il polinomio caratteristico di tali matrici e poi applicare la regola di Cartesio a tali polinomi. (Nota: il polinomio caratteristico ha solo radici reali perchè gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali.) Naturalmente questo schema di riconoscimento delle quadriche è valido anche nel caso euclideo. Sappiamo già che per una quadrica non degenere in $ \;E^3(\mathbb {R})\; $ è possibile calcolare la forma canonica utilizzando le formule introdotte nella proposizione della classificazione euclidea.