Classificazione Esempio 1 Esempio 2 Esempio 3

Classificazione veloce delle quadriche

Esempio 3:   Studiamo la quadrica di equazione $$\mathcal{Q}: \,x^2+2xz+y^2+4yz+5hz^2+2x+1=0;$$ al variare del parametro reale $\:h$. Le matrici associate alla quadrica sono: $$\mathcal{A}\: = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 ... ... \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 5h \\ \end{array} \right).$$ Si ha: $\;det\mathcal{A}=-1$, quindi $\:\mathcal{Q}\:$ è sempre non degenere. Bisogna studiare i segni degli autovalori di $\:\mathcal{A}_0$. Il polinomio caratteristico di $\:\mathcal{A}_0\:$ è: $$-\lambda^3+(2+5h)\lambda^2+(4-10h)\lambda+(5h-5).$$ Dobbiamo quindi esaminare le variazioni di segno nella successione $$a_3=-1,\quad a_2=2+5h,\quad a_1=4-10h,\quad a_0=-(5h-5).$$ Si ha: $$a_0=0 \qquad h=1$$ $$a_1=0 \qquad h=2/5$$ $$a_2=0 \qquad h=-2/5$$ Bisogna considerare quindi i seguenti casi: $$h<-2/5; \quad h=-2/5; \quad -2/5<h<2/5;$$ $$h=2/5; \quad 2/5<h<1; \quad h=1; \quad h>1.$$ Analizziamo alcuni casi: - Per $\:h<-2/5\:$ i segni dei coefficienti del p.c. sono $\:-,-,+,-$. Gli autovalori di $\:\mathcal{A}_0\:$ hanno quindi segni $+,+,-$ e una forma canonica di $\:\mathcal{Q}\:$ è $\;\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2=c$, con $\;\lambda_1>0,\;\lambda_2>0,\;\lambda_3<0.$ Inoltre $\;c=-det\mathcal{A}/det\mathcal{A}_0=1/\lambda_1\lambda_2\lambda_3<0$. La quadrica è quindi un iperboloide a due falde. - Per $\:-2/5<h<2/5\:$ i segni dei coefficienti del p.c. sono $\:-,+,+,-$. Vi sono quindi due autovalori positivi e uno negativo. $\mathcal{Q}\:$ è allora un iperboloide a due falde (cfr. il caso $\:h<-2/5$). - Per $\:h=1\:$ vi è un autovalore nullo. Inoltre i segni dei coefficienti non nulli del p.c. sono $\:-,+,-\:$ quindi gli altri due autovalori sono positivi. Una forma canonica di $\:\mathcal{Q}\:$ è $\;\lambda_1x^2+\lambda_2y^2=2bz$, con $\;\lambda_1>0,\;\lambda_2>0$. Si tratta dunque di un paraboloide ellittico. - Per $\:h>1\:$ il p.c. non ha radici nulle e i segni dei suoi coefficienti sono $\:-,+,-,+$. Vi sono tre variazioni di segno quindi tre autovalori positivi. Una forma canonica di $\:\mathcal{Q}\:$ è $\;\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2=c$; inoltre $\;c=-det\mathcal{A}/det\mathcal{A}_0=1/\lambda_1\lambda_2\lambda_3>0$. La quadrica è quindi un ellissoide reale. Se si risolvono i casi mancanti si giunge alla conclusione che la quadrica è un iperboloide a due falde per $\:h<1\:$, un paraboloide ellittico per $\:h=1\:$ e un ellissoide reale per $\:h>1$.