Classificazione veloce delle quadriche

Esempio 1:

Riprendiamo la quadrica dell' esempio 1 visto in "Calcolo della forma normale"; la sua equazione è:

$\displaystyle \mathcal{Q}: \,3x^2+y^2-z^2+2xy-2x+4z+5=0;$

e le matrici associate sono:

$\begin{displaymath} \mathcal{A}\: = \left( \begin{array}{cccc} 5 & -1 & 0 & 2... ...0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \end{displaymath}$

risulta $\;det\mathcal{A}=-17 \; \Rightarrow \; r(\mathcal{A})=4\;$ e $\;det\mathcal{A}_0=-2 \; \Rightarrow \; r(\mathcal{A}_0)=3\;$
Il polinomio caratteristico di $\:\mathcal{A}_0 \:$ è:

$\displaystyle P_{\mathcal{A}_0}(\lambda)=(3-\lambda)(1-\lambda)(-1-\lambda)=\cdot\cdot\cdot=-\lambda^3+3\lambda^2+5\lambda-2=0.$

Ci sono due variazioni di segno e nessuna radice nulla quindi la segnatura di $\:\mathcal{A}_0 \:$ è $\:(2,1)$ . Essendo $\:det\mathcal{A}<0\:$ la quadrica risulta essere un iperboloide a due falde.