Gli Elementi, breve introduzione storica

    Le Geometrie non Euclidee sono quelle teorie che ebbero la cui origine deriva dai commenti a "Gli Elementi" di Euclide (circa 300 a.C.), e tramite queste critiche si svilupparono gradatamente fino ad essere definite con esattezza nel XIX secolo.
Tale processo di definizione è avvenuto attraverso i secoli e  ha percorso tutte le fasi della storia della Matematica.
L'aspetto più importante di questo "viaggio nel tempo" è che alla creazione delle Geometrie non Euclidee hanno contribuito matematici che, non essendo vissuti nello stesso periodo, hanno affrontato problemi riguardanti la Geometria non Euclidea sotto punti di vista differenti. Ogni secolo, infatti, è segnato dai progressi ottenuti in quello precedente e da eventi storici che condizionano gli aspetti sociali e culturali dei popoli. Anche il modo di porsi di fronte alle questioni riguardanti la matematica risente di questa influenza.

    Il problema del quinto postulato è legato al concetto aristotelico che ogni asserto contenente premesse e conseguenze, ipotesi e tesi, deve essere dimostrato, cioè deve essere provata la sua validità. L'enunciato del quinto postulato, infatti, è del tipo "se...allora", quindi come forma è più simile ad un teorema che ad un asserto affermativo e, per quanto detto prima, sembrava esigere una dimostrazione.

    I tentativi di dimostrare il quinto postulato hanno attraversato molte fasi, la prima è con Euclide stesso che tentò di evitarlo il più possibile. Abbiamo poi  matematici che lo sostituirono con asserti equivalenti, come Posidonio (135-51 a.C.); seguirono altri, Proclo (410-485), Wallis (1616-1703) e Playfair (1748-1819) che cercarono di dimostrarlo. Tra questi ultimi  Padre Gerolamo Saccheri  (1667-1733) utilizzò una dimostrazione, detta "per assurdo", in cui definì una geometria dove non valeva il quinto postulato. L'importanza del contributo di Saccheri è che involontariamente costruì , a livello basilare, le prime Geometrie non Euclidee  proprio perchè aveva ipotizzato una geometria in cui si negava la validità del quinto postulato, anche se ritenendola assurda.

    In seguito il modo di affrontare questo problema assunse un aspetto diverso, i risultati ottenuti inconsapevolmente da Saccheri furono ripresi da Johann Heinrich Lambert (1728-1777)e nello stesso periodo G.S. Klugel (1738-1812)ipotizzò che il quinto postulato non fosse dimostrabile. Da questo momento cambierà anche il concetto di Geometria. La Geometria per molti secoli era  stata considerata una scienza che serviva per descrivere la realtà direttamenete percepita dai sensi, ma ora, fallito ogni tentativo di dimostrare il quinto postulato, cominciò a crollare l'idea che la Geometria Euclidea fosse l'unica possibile e quindi si ipotizzò l'esistenza di altre geometrie valide perchè coerenti, cioè non contraddittorie, al di là della realtà che descrivevano. Gauss (1777-1855), Jànos Bolyai (1812-1860) e Lobachevsky (1793-1856), furono i primi a costruire con correttezza una nuova geometria in cui valeva la negazione del quinto postulato; dopo loro Riemann (1826-1866) ne fondò un'altra.

    Con la nascita delle Geometrie non Euclidee si sollevò anche il problema di provare la loro validità, cioè la loro coerenza. L'utilizzo di modelli  di queste geometrie risolse la questione; infatti creando dei modelli che rappresentano le Geometrie non Euclidee in  quella Euclidea; dando cioè una corrispondenza fra queste strutture e altre della Geometria Euclidea, considerata coerente, allora anche le geometrie rappresentate da tali modelli sono coerenti.

    In questo lavoro sono rappresentati a livello basilare alcuni modelli di Geometrie non Euclidee e le rispettive corrispondenze con la Geometria Euclidea (anche se non sono state inserite formule ed equazioni che caratterizzano i modelli stessi).

    Il matematico che diede una definizione di cosa si potesse intendere per "Geometria"  fu Felix Klein (1849-1925), a cui va anche il merito di aver sintetizzato un modo generale per costruire qualsiasi geometria che consiste nel definire prima gli enti della geometria in questione e poi le trasformazioni rispetto a cui gli enti stessi sono invarianti.

    Il processo di definizione delle Geometrie non Euclidee, oltre a sottolineare le posizioni dei matematici assunte nei secoli, fa capire come è cambiato il modo stesso di definire le teorie matematiche. Da Euclide che costruisce una geometria ritenuta vera e unica attraverso enti, assiomi, postulati e teoremi, questa sintesi storica termina con uno dei grandi risultati della rivoluzione non Euclidea, cioè la possibilità di definire innumerevoli geometrie secondo il metodo introdotto da Klein.