Gli Elementi, breve introduzione storica

    Il periodo in cui visse Euclide, circa il 300 a.C., è caratterizzato da cambiamenti politici e sociali che influenzarono le filosofie e lo sviluppo delle scienze nell'area del regno di Alessandro Magno. Con le conquiste di Alessandro l'Asia Minore, la Persia e l'Egitto caddero sotto l'egemonia militare dei Greci. Alla sua morte l'impero fu diviso in una serie di regni militari e le dinastie più potenti si installarono in Egitto, Siria e Macedonia. Questi avvenimenti favorirono scambi commerciali e quindi l'incontro e la fusione fra la cultura greca e quelle orientali e furono causa di cambiamenti della vita politica e della cultura in Grecia. Di conseguenza cambiò anche il modo di rapportarsi alle scienze studiate all'epoca.
    Euclide fu uno dei primi matematici vissuti in questo periodo e diede le basi dello sviluppo della matematica alessandrina riorganizzando i risultati ottenuti dai matematici del periodo classico.
    Le conquiste da parte dei Macedoni, popolazione greca che viveva nella regione settentrionale del paese, furono iniziate nel 322 a.C. da Filippo II di Macedonia ( per esempio Atene fu presa nel 336 a.C. ). Alessandro Magno, figlio di Filippo, assunse il comando dopo di lui e conquistò la Grecia, l'Egitto e il Vicino Oriente fino ai confini dell'India, a est, e, a sud fino alle cataratte del Nilo. La principale città costruita durante le conquiste fu Alessandria d'Egitto fondata nel 332 a.C. come capitale del regno.
 
 

                                                           Figura 1. Estensione delle conquiste di Alessandro Magno
 
 

    Alessandro vagheggiava per il suo nuovo impero una cultura cosmopolita. Poiché l'unica altra civiltà di spicco era quella persiana, Alessandro cercò di fonderle insieme sposando Statira, figlia del re persiano Dario e costrinse un centinaio dei suoi generali e diecimila dei suoi soldati a prendere in moglie donne persiane, inoltre trasportò coloni di tutte le nazioni nelle varie città che aveva fondato. Alessandro morì nel 323 a.C. prima di aver completato la capitale e ancora impegnato in altre conquiste.
    Dopo la sua morte i suoi generali combatterono fra di loro per la conquista del potere. Dopo decenni di instabilità politica l'impero fu diviso dai generali greci in tre parti indipendenti. Antigono e Cassandro governarono a turno l'impero antigonide situato in Macedonia, Seleuco e Lisimaco si contesero la Siria e l'Oriente e Tolomeo governò il terzo impero, l'Egitto. La Grecia antigonide e la Macedonia caddero gradualmente sotto il dominio romano e persero di importanza dal punto di vista dello sviluppo della matematica.
    Le principali creazioni successive a quelle del periodo classico furono ottenute nell'impero tolemaico, e principalmente ad Alessandria. I re dell'Egitto erano dei Greci sapienti e portarono avanti il piano di Alessandro di costruire un centro culturale ad Alessandria. Tolomeo Sotere e i suoi successori erano consapevoli dell'importanza culturale delle grandi scuole greche come quelle di Pitagora, Platone e Aristotele. Questi sovrani invitarono quindi ad Alessandria studiosi provenienti da tutti i centri culturali esistenti e li sovvenzionarono con fondi statali. Intorno al 290 a.C. Tolomeo Sotere costruì un centro in cui gli studiosi potevano studiare e insegnare.
    Questo edificio, dedicato alle muse, divenne noto come il Museo e ospitò poeti, filosofi, astronomi, geografi, medici, storici, artisti e i più famosi matematici della civiltà alessandrina.
 
 

                                 Tabella 1.

                                 Tabella 2.
 
 
 

    I Tolomei proseguirono anche il piano di Alessandro di favorire l'integrazione dei popoli, così Greci, Persiani, Etiopi, Arabi, Romani, Indiani e Ebrei arrivavano ad Alessandria e si mescolavano fra loro liberamente. La civiltà in Egitto fu ulteriormente influenzata dalle conoscenze portatevi dai mercanti e dalle speciali spedizioni organizzate dagli studiosi per raccogliere informazioni sulle altre parti del mondo, di conseguenza furono molto allargati gli orizzonti culturali.
    I lunghi viaggi per mare richiedevano una più approfondita conoscenza della geografia, dei metodi per misurare il tempo e delle tecniche di navigazione, mentre la competizione commerciale generava un interesse per i materiali, per l'efficienza della produzione e per il miglioramento delle capacità tecniche. La scienza pura continuava ad essere perseguita, ma erano molto coltivate le sue applicazioni.
    Il lavoro degli studiosi del Museo era diviso in quattro dipartimenti: letteratura, matematica, astronomia e medicina. Poiché due di questi erano matematici e la medicina, attraverso l'astrologia, comprendeva un po' di matematica, è chiaro che la matematica occupava una posizione predominante nel mondo alessandrino. Per quanto si possa pensare alla matematica come scienza pura che non risente degli eventi che condizionano gli uomini, la nuova civiltà ellenistica produsse una matematica dai caratteri completamente diversi da quelli della matematica del periodo classico (vedi Tabella 1. e Tabella 2. per una lista dei principali matematici dei due periodi).
    Euclide organizzò i risultati del periodo classico, anche Apollonio organizzò ed estese la matematica greca classica. Gli altri grandi matematici alessandrini, come Archimede, Eratostene, Ipparco, Nicomede, Erone, Menelao, Tolomeo, Diofanto e Pappo, continuarono a esibire il genio greco per la matematica teorica e astratta, ma con delle differenze molto profonde.
    La geometria alessandrina si dedicava soprattutto alla ricerca di risultati utili per il calcolo di lunghezze, aree e volumi. Inoltre i Greci classici, non avendo riconosciuto lo stato di numeri agli irrazionali, avevano prodotto una geometria puramente qualitativa. Gli Alessandrini, invece, seguendo la pratica dei Babilonesi, non esitarono a usare gli irrazionali e di fatto attribuirono liberamente dei numeri alle lunghezze, alle aree e ai volumi. Il vertice di questo tipo di lavoro fu lo sviluppo della trigonometria.
    Gli alessandrini diedero anchevigore all'aritmetica e all'algebra e si dedicarono attivamente alla meccanica e diedero importanti contributi allo studio dei fenomeni luminosi, della geografia matematica e dell'astronomia.
    Euclide appartiene al primo periodo alessandrino e, sebbene avesse riceuto la propria educazione nell' Accademia Platonica, visse ad Alessandria intorno al 300 a.C. dove, fortemente voluto da Tolomeo, proseguì i suoi studi e insegnò nel Museo; a lui non viene attribuita nessuna nuova scoperta, e la sua fama era dovuta alle sue capacità espositive. Le notizie sulla sua biografia sono molto scarse  e sulla sua indole sono stati tramandati due aneddoti; uno narra che alla richiesta da parte di Tolomeo di una facile introduzione alla geometria, Euclide abbia fermamente replicato che "non esiste nessuna strada regia che porti alla geometria", e l'altro racconta che, quando un allievo gli chiese che utilità avesse lo studio della geometria, Euclide si rivolse al suo schiavo dicendogli di dare una moneta all'allievo "perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara".
    Gran parte dell'opera di Euclide consisteva nella riorganizzazione delle scoperte dei matematici greci del periodo classico; ciò risulta chiaro se ne vengono paragonati i contenuti con ciò che si sa dei risultati ottenuti in precedenza. Oltre agli "Elementi", Euclide fu autore di una dozzina di trattati che coprivano vari argomenti, dall'ottica all'astronomia, dalla musica alla meccanica, sino a un libro sulle sezioni coniche; di questi sono pervenuti a noi solo dei frammenti. Le opere di Euclide sono i più antichi trattati matematici greci che ci siano rimasti per intero.
     "Gli Elementi" di Euclide è un'opera di 13 libri contenenti 465 teoremi, che non include soltanto risultati di geometria elementare, ma anche di ciò che oggi chiameremmo algebra e teoria dei numeri. Per la sua impostazione e il rigore logico, Gli Elementi divennero il  testo di geometria di riferimento dell'epoca ed è inoltre considerato il più antico esempio di sistema assiomatico.
    Risalente al 300 a.C., gli Elementi non erano, come talvolta si è pensato, un compendio di tutte le conoscenze matematiche del tempo; era, invece, un manuale introduttivo che abbracciava tutta la matematica elementare del tempo. Per questo motivo è complicato stabilire quali siano stati effettivamente i risultati scritti da Euclide.Tale difficoltà aumenta se si pensa che la versione attuale è il risultato di trascrizioni e rivisitazioni. Per l'importanza che subito acquistò, il testo fu molto richiesto, così molte copie furono trascritte a mano e quindi già diverse da altre fedeli al libro. Probabilmente si aggiunsero ulteriori modifiche quando la distribuzione delle copie (copie di copie di copie...), riguardò tutta l'area del Mediterraneo, e così nel corso dei secoli, il testo subì molti cambiamenti.
    Questo fenomeno non era sempre casuale, in altre parole, poteva capitare che fossero deliberatamente apportate delle "migliorie", come quando Teone di Alessandria, vissuto nella seconda metà del IV secolo d.C. circa 700 anni dopo Euclide, ne semplificò il linguaggio, aggiunse dei passaggi alle dimostrazioni e inserì alcuni teoremi secondari.
    Circa 400 anni dopo Teone, una copia del suo manoscritto (o una copia di una copia...), fu tradotta in arabo. Intorno al 1120 una copia del testo arabo (o una copia di una copia...), fu tradotta in latino dal filosofo inglese Adelardo di Bath.
    Nel 1270 la traduzione di Adelardo fu rivista alla luce di altre fonti arabe (derivate da altre versioni greche del manoscritto di Teone), dallo scienziato Campano di Novara; questa versione fu stampata a Venezia nel 1482, quindi  dalla versione di Euclide passarono circa 1800 anni.
    Successivamente furono ritrovate altre versioni greche  del manoscritto di Teone e una copia greca  probabilmente precedente a questo. Basandosi su queste fonti, il filologo danese Johan L. Heiberg nel 1880 scrisse una versione in Greco e nel 1908 lo storico Sir Thomas L. Heat la tradusse in Inglese. La prima versione italiana è dovuta al matematico Federigo Enriques e risale al 1935.