Il libro I degli Elementi, struttura e contenuti

    Il libro I degli Elementi è particolarmente importante perché in esso sono contenuti i princìpi  sui quali si basa l'organizzazione euclidea della geometria.
    Contiene 23 Definizioni, 5 Postulati, 5 Assiomi che saranno introdotti e spiegati e 48 Teoremi di cui vedremo alcuni esempi. Definizioni, Postulati, Assiomi e Teoremi hanno una numerazione precisa, stabilita da Euclide, che li contraddistingue; ad ogni numero di una di queste liste corrisponde un determinato asserto.
    La lista delle Definizioni introduce gli enti, cioè i termini che sono oggetto di studio del libro I. Questi enti sono suddivisi in termini primitivi e in termini definiti, quelli primitivi sono introdotti e spiegati ma non definiti tramite qualcos'altro e gli altri sono definiti a partire da quelli primitivi.
     I Postulati sono i princìpi riguardanti la teoria a cui ci si riferisce, in questo caso la geometria, ed in essa sono sempre veri; gli Assiomi sono verità comuni a tutte le scienze e i Teoremi sono asserti la cui veridicità deve essere provata. Per dimostrare i Teoremi in generale si sfruttano le proprietà dei Termini definiti, gli Assiomi e i Postulati, oppure i Teoremi precedentemente dimostrati.
    Un aspetto importante del libro I, e anche degli altri dodici, è il rigore con cui è analizzato ogni asserto e ogni proprietà degli enti studiati. Vedremo più avanti che anche le proprietà intuitivamente ovvie sono dimostrate; la dimostrazione garantisce sempre la verità di ogni asserto e quindi toglie ogni dubbio sulla non validità dello stesso.
 

    Il libro I comincia, senza introduzione o alcuna spiegazione, con le definizioni dei concetti che saranno usati nella prima parte dell'opera, seguono poi i Postulati, gli Assiomi e termina con la lista dei Teoremi con le relative Dimostrazioni.
 

Le prime sette Definizioni sono riferite a termini primitivi:

 1. Un punto è ciò che non ha parti.

  2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.(c)

  3. Gli estremi di una linea sono punti.(c)

  4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.(c)

  5. Una superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza.

  6. Gli estremi di una superficie sono linee.(c)

  7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.

    Queste definizioni di apertura sono espresse in termini di concetti che non sono definiti e quindi non assolvono nessuna funzione logica. Si ha il sospetto che Euclide non si sia reso conto che i concetti iniziali devono essere "non-definiti" e che cercasse ingenuamente di spiegare il loro significato in termini di concetti fisici. Alcuni commentatori dicono che egli si rendeva conto che le definizioni non avevano nessuna validità logica ma che voleva spiegare intuitivamente che cosa rappresentassero i termini in modo che i suoi lettori si convincessero che gli Assiomi e i Postulati potevano essere applicati a questi concetti.
 

Seguono i termini definiti:

  8.   Un angolo piano è l'inclusione reciproca di due linee  in un piano le quali si incontrino
        e non giacciano in linea retta.

  9.   Quando le linee che comprendono l'angolo sono rette, l'angolo è detto rettilineo.

10.   Quando una retta innalzata a partire da un'altra retta forma con essa angoli adiacenti e            uguali fra loro, ciascuno dei  due angoli è retto, e la retta si dice perpendicolare a quella su cui si è innalzata.

11.   Dicesi ottuso l'angolo maggiore di un angolo retto.

12.   Dicesi acuto l'angolo minore di un angolo retto.

13.   Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.

14.   Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.

15.   Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un'unica linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura siano uguali fra loro.

16.   Quel punto si chiama centro del cerchio.

17.   Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia anche il centro a metà.

18.   Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata, e centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio.

19.   Dicesi rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette, quelle quadrilatere comprese da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.

20.   Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali, isoscele quella che ha due lati uguali e scaleno quello che ha i tre lati disuguali.

21.   Dicesi triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso e acutangolo quello che ha i tre angoli acuti.

22.   Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli retti.

23.   Si dicono parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro da nessuna delle due parti.

    I Termini definiti sono l'oggetto di studio del libro I, cioè in questa parte degli "Elementi" sono dimostrate le proprietà relative ad essi. I Termini definiti sono introdotti a partire dai Termini primitivi e le loro caratteristiche intrinseche sono utilizzate per dimostrare i Teoremi.
 
 
 

Euclide enuncia poi cinque Postulati:

    Risulti postulato che:
 

1.  E' possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.

2.  E' possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.

3.  E' possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza (raggio) qualsiasi.

4.  Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.

5.  Se, in un piano, una retta, intersecando due altre rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette, se indefinitamente prolungate, finiscono con l'incontrarsi dalla parte detta.

    Euclide non assume ingenuamente che i concetti definiti esistano o siano coerenti, infatti i primi tre Postulati, in quanto asseriscono la possibilità di costruire rette e cerchi, sono essi stessi asserzioni di esistenza per queste due entità. Nel seguito del libro I Euclide dimostra l'esistenza delle altre entità costruendole.
 
 

E cinque Assiomi:

1.  Cose uguali a un'altra sono uguali tra loro.

2.  Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.

3.  Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.

4.  Cose che possono essere portate a sovrapporsi l'una con l'altra sono uguali tra loro.

5.  Il tutto è maggiore della parte.

    Euclide adotta la distinzione, già tracciata da Aristotele, tra Postulati, che si applicano soltanto alla geometria e Assiomi, che sono verità applicabili a tutte le scienze. Tuttavia, nella successiva storia della matematica, sia i Postulati sia gli Assiomi furono accettate come verità che non potevano essere messe in discussione, almeno fino all'avvento della Geometria non Euclidea.
 
 

    Seguono poi 48 Teoremi, cioè asserti la cui veridicità deve essere provata, con le relative dimostrazioni.

Diamo un esempio di teorema dimostrato tramite la tecnica di costruzione:

Teorema 1: Dato un segmento è possibile costruire su di esso un triangolo equilatero.
 
 

                                                                              Figura 1.
 
 

    Dimostrazione

    1.  Sia AB il segmento dato  (ipotesi)
    2.  Si costruisca un cerchio di centro A e raggio AB  (Postulato 3)
    3.  Si costruisca un cerchio di centro B e raggio BA  (Postulato 3)
    4.  Sia C il punto di intersezione delle due circonferenze
    5.  Si costruisca AC e BC  (Postulato 1)
    6. AC=AB  (definizione di raggio)
    7. BC=AB  (definizione di raggio)
    8. AC=BC  (Assioma 1 riferito alle righe 6 e 7)
    9. ABC è equilatero  (riga 6, 7, 8, definizione di triangolo equilatero)
  10.  Su ogni segmento è possibile costruire un triangolo equilatero  (generalizzazione)

    L'enunciato di questo Teorema, con la relativa dimostrazione, sottolinea in particolare che Euclide non lasciò niente di scontato, neanche l'esistenza del triangolo equilatero, dando una dimostrazione rigorosa di come si può costruire a partire da un segmento che diventa uno dei lati del triangolo stesso.
 

Un altro esempio è la dimostrazione del Teorema 5.

Teorema 5: Gli angoli alla base di un  triangolo isoscele sono uguali.

                                                                                Figura 2.

    Dimostrazione:

    1.  Sia ABC triangolo isoscele con AB=AC (ipotesi)
    2.  Si prolunghi AB fino a D (Postulato 2)
    3.  Si prolunghi AC fino a E, tale che CE>BD (Postulato 2)
    4.  Su CE si consideri CF=BD (riga 3, Teorema 3)
    5.  Si costruisca DC e FB (Postulato 1)
    6.  AD=AF (riga 1,4, Assioma 2)
    7. A=A , come angoli (Assioma 4)
    8. ABF=ADC (riga 1,6,7, Teorema 4)
    9. BDC=CFB, come angoli,  BF=DC (definizione di congruenza)
  10.  BCF=DBC (riga 4,9, Teorema 4)
  11.  ABC+CBF=ACB+BCD come angoli(riga 8, definizione di congruenza)
  12.  CBF=BCD come angoli (riga 10, definizione di congruenza)
  13.  ABC=ACB come angoli (riga 11,12, Assioma 3)
  14.  In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono uguali tra loro (riga 13, generalizzazione)

    Anche questo Teorema è molto significativo perché puntualizza qualcosa di apparentemente ovvio; ma, in realtà, andando a riguardare la definizione del triangolo isoscele, contrassegnato da Euclide con il numero 20 della lista delle definizioni, si nota che questo è caratterizzato da due lati congruenti, non da due angoli uguali, quindi quest'ultima proprietà necessita di una prova rigorosa.

    Una volta dimostratata la validità del teorema 5, tale proprietà può essere presa come ovvia e può essere utilizzata per dimostrare altri Teoremi.

    Il libro I degli "Elementi", e con esso gli altri dodici, è caratterizzato proprio dall'attenzione di non lasciare indimostrata nessuna proprietà degli enti che si stanno analizzando. Il lettore avrà quindi la certezza che ogni asserto riguardante i termini in questione è sempre vero perché provato da una dimostrazione rigorosa.