Il quinto postulato

 
 

    Il quinto postulato è particolarmente interessante per il contenuto dell'asserto, perchè coinvolge (anche se implicitamente)il concetto di infinito, e per la sua forma che assomiglia più ad un teorema che ad una affermazione.  Quindi Euclide dovette far fronte a due questioni, quella di manipolare un asserto che rimandava al concetto di infinito su cui era impossibile fare ipotesi, e quella di considerare come postulato un asserto che strutturalmente era più somigliante ad un teorema e che quindi doveva essere dimostrato; vedremo più avanti che Euclide non diede una dimostrazione del quinto postulato, ma finchè ha potuto, evitò di utilizzarlo, dimostrando così di non essere inconsapevole di un problema che verrà affrontato per il resto dei secoli e si concluderà con la definizione delle Geometrie non Euclidee.
 
 

Postulato 5


 
 
 


                                                                           figura3.                                                          

 
 
 

     Risulti postulato che se in un piano una retta, intersecando altre due, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l'incontrarsi dalla parte detta.
 
 

    Il modo in cui Euclide maneggiò il postulato delle parallele è particolarmente intelligente. Egli senza dubbio sapeva che ogni postulato di questo tipo era un'asserzione, implicita o esplicita, su ciò che deve accadere nelle regioni all'infinito dello spazio e che ogni presa di posizione su ciò che deve essere vero dello spazio infinito era fisicamente dubbio perché le esperienze umane sono limitate. Ciò nondimeno, egli si rendeva conto che un qualche assioma di questo tipo era indispensabile. Egli scelse perciò una versione che enunciava le condizioni sotto cui due rette si incontrano in un punto a distanza finita.
 

    A differenza degli altri, enunciati come affermazioni, il quinto Postulato è del tipo "se...allora", quindi come struttura più simile ad un teorema che non  ad un asserto.
Da questa osservazione nacque l'esigenza di dimostrare il quinto Postulato.
Euclide stesso non chiarì niente a riguardo, tuttavia la sua consapevolezza del problema è marcata dal fatto che nelle prove dei teoremi utilizzò il quinto Postulato solo quando era strettamente necessario, infatti  la prima dimostrazione in cui compare è quella relativa al Teorema 29.


 

Teorema 29: Se una retta interseca due rette parallele, con esse individua coppie di angoli alterni interni e coppie di angoli corrispondenti uguali tra loro e angoli interni da una stessa parte la cui somma è pari a due angoli retti.
 
 
 
                                                                            Figura 4.

 

Dimostrazione

1.  Siano AB e CD rette parallele e EF la retta che le interseca (ipotesi)
2.  Sia l'angolo AEF diverso dall'angolo EFD  cioè  AEF > EFD (ipotesi per assurdo)
3.  AEF + BEF > EFD + BEF come angoli (riga  2)
4.  AEF + BEF = 180° (Teorema 13)
5.  EFD + BEF < 180° (riga 3,4)
6.  AB e CD si incontrano nella parte di  EF contenente B e D (riga 5, Postulato 5)
7.  Contraddizione (riga 1,6, AB e CD sono parallele per ipotesi)
8.  Quindi  AEF = EFD come angoli (riga2,...,7, logica)
9.  Tesi


 

    Un altro Teorema dimostrato con l'ausilio del postulato delle parallele è il Teorema 47 più noto come il Teorema di Pitagora (il quinto postulato è utilizzato nei teoremi 31, 46 e 29):


 

Teorema 47: Nel triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sul lato sotteso all'angolo retto è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui lati contenenti l'angolo retto.
 
 
 
                                                                               Figura 5

 
 

   Dimostrazione:
  1.  Sia ABC il triangolo rettangolo con angolo retto in A (ipotesi)
  2.  Su AB, BC e AC si costruiscano rispettivamente i quadrati ABFG, BCDE e ACHI (Teorema 46)
  3.  Da A si costruisca AJ parallelo a BE (Teorema 31)
  4.  AJ, se sufficientemente prolungato, interseca BC nel punto K
  5.  AK, se sufficientemente prolungato, interseca ED nel punto L
  6.  Si costruisca AE e FC (Postulato 1)
  7.  I triangoli FBC e ABE sono congruenti
  8.  Area(FBC) = Area(ABE) (Postulato 9)
  9.  2Area(FBC) = 2Area(ABE) (se a=b, allora 2a=2b)
10.  ABFG è un parallelogramma
11.  Area(ABFG) = 2Area(FBC) (Teorema 41)
12.  Area(ABFG) = 2Area(ABE) (riga 9, 11, Assioma 1)
13.  BKLE è un parallelogramma
14.  Area(BKLE) = 2Area(ABE) (Teorema 41)
15.  Area(ABFG) = Area(BKLE) ((riga 12, 14, Assioma 1)
16.  Costruendo AD e BH, analogamente si ha che Area(ACHI) = Area(CDLK)
17.  Area(ABFG) + Area(ACHI) = Area(BKLE) + Area(CDLK) (riga 15, 16, Assioma 2)
18.  Area(BCDE) = Area(BKLE) + Area(CDLK) (Assioma 4)
19.  Quindi Area(BCDE) = Area(ABFG) + Area(ACHI) (riga 17 ,18, Assioma 1)
 

Dimostrazione della riga 4:

 a.  JAB + ABE =180° (Teorema 29, AB su AJ || BE)
 b. CBE = 90° (riga2, definizione di quadrato)
 c.  ABE > CBE (Assioma 5)
 d.  ABE > 90° (riga b, c, regola di logica: se a=b e c>a, allora c>b)
 e.  JAB < 90° (riga a, d, regola di logica: se a+b=c e b>(1/2)c, allora a<(1/2)c)
 f.  JAB < BAC come angoli (riga 1, regola di logica: se a=b e c<b, allora c<a)
 g.  AJ è condotto dal vertice dell'angolo retto del triangolo rettangolo ABC ad un punto dentro il triangolo ABC (riga f)
 h.  Quindi se AJ è prolungato dalla parte del punto interno al triangolo ABC, intersecherà il triangolo ABC nel punto K
      appartenente al lato BC

 Nota: "Area(ABC)":= area del triangolo ABC.
        "Area(BCDE)":= area del quadrilatero BCDE.


 

Il quinto Postulato è stato utilizzato anche per dimostrare i Teoremi 30,32,..., 46 e 48.
 
 

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