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6. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano e $l$ una sua retta; siano $O,I\in l$ due punti distinti; allora la moltiplicazione (vedi definizione 4) di punti di $l$ relativamente ad $O,I$ rende $l\setminus\{O\}$ gruppo con $I$ come elemento neutro.

DIMOSTRAZIONE

  • $I$ elemento neutro: $A\cdot I =I\cdot A=A$ $\;$ $\forall\;A\in l.$

    Siano $B$ (e $D$) come nella definizione; poiché $l(B,I)\parallel l(D,A)$, segue che $A\cdot I =A$. Nel calcolare $I\cdot A$ si osservi invece che la retta $m$ descritta nel secondo passo della definizione eguaglia la retta $l(I,B)$ e quindi $D=B$ e $k=l(B,A)$; e dunque $I\cdot A$ (determinato da $ l \cap k $) vale $A$.
  • esistenza dell'inverso:
    $\forall\;A\in l,A\neq O$ esiste un unico punto di $l$, che denoteremo $(A)^{-1}$, tale che $A\cdot (A)^{-1}=(A)^{-1}\cdot A=I$.

    Siano $B$ e $D$ tali che $l(I,B)\parallel l(A,D)$ e $D\in l(O,B)$; sia $n$ la retta passante per $B$ e parallela a $l(D,I)$ e poniamo per definizione $(A)^{-1}$ come il punto di intersezione di $n$ e $l$.
    A questo punto basta moltiplicare $A$ e $(A)^{-1}$ usando $B$ (e $D$) e $(A)^{-1}$ e $A$ usando $D$ (e $B$) per ottenere in entrambi i casi il punto $I$.

  • associatività del prodotto:
    $(A\cdot C)\cdot E=A\cdot( C\cdot E)$$\;$ $\forall \; A,C,E \in l$.

    Si confronti con la prova dell'associatività della somma: prima moltiplichiamo $A$ e $C$ utilizzando $B$ e $C$ e poi moltiplichiamo $A\cdot C$ e $E$ utilizzando un punto $B'$ e $D$ ove $B'$ è stato scelto in modo tale che $l(I,B')\parallel l(A\cdot C,D)$.
    Moltiplichiamo ora $C\cdot E$ e utilizzando $B'$ (e $B$) e alla fine moltiplichiamo $A$ e $C\cdot E$ usando $B$ e (e $D$) e otteniamo proprio che $(A\cdot C)\cdot E=A\cdot( C\cdot E)$.



7. ESERCIZIO Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano e $l$ una sua retta affine; siano $O,I\in l$ due punti distinti; consideriamo la moltiplicazione di punti di $l$ relativamente ad $O,I$; allora vale $A\cdot O= O\cdot A= O$.        Soluzione

8. TEOREMA Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano e $l$ una sua retta affine; siano $O,I\in l$ due punti distinti; allora l'addizione di punti relativamente ad $O$ e la moltiplicazione di punti di $l$ relativamente ad $O,I$ rendono $l$ un corpo.

DIMOSTRAZIONE In virtú delle proposizioni 3 e 6 dobbiamo mostrare solamente che valgono le leggi distributive:
1.
$(A+C)\cdot E=A\cdot E +C\cdot E$ $\;$ $\forall \; A,C,E \in l$.


Infatti sia $B\not \in l$; calcoliamo
$A\cdot E$ usando $B$ (e $D_1$),
$C\cdot E$ usando $B$ (e $D_2$),
$(A+C)$ usando $D_2$ (e $D_3)$,
$ (A+C)\cdot E$ usando $B$ e $D_4$.
Sia $D_5$ un punto sulla retta $l(D_4,(A+C)\cdot E)$ tale che $l(A,D_3)\parallel l(A\cdot E,D_5)$.
Servendoci del Teorema di Desargues relativamente alle terne $D_4,D_3,D_5$ e $D_1,A, A\cdot E$ otteniamo che $l(D_3,D_5)\parallel l(A,A\cdot E)$ e questo mostra che $D_5\in l(D_2,D_3)$.
A questo punto sommiamo $A\cdot E$ e $C\cdot E$ usando $D_2$ (e $D_5$) e notiamo che $l(D_2,C\cdot E)\parallel l(D_5,A\cdot E +C\cdot E)$ e questo significa che $(A+C)\cdot E=A\cdot E +C\cdot E$.
2.
Proviamo, ancora con argomenti di tipo geometrico, che $E\cdot (I+C)=E+E\cdot C$ $\:$ $\forall\;C,E\in l$; successivamente con un'argomentazione di tipo algebrico seguirà che $E\cdot (A+C)=E\cdot A+E\cdot C$ $\;$ $\forall \; A,C,E \in l$.

Sia dunque $B\not \in l$; calcoliamo
$E\cdot C$ usando $B$ (e $D$);
$I+C$ usando $B$ (e $D_1$);
$E+E\cdot C$ usando $D_1$ (e $D_2$);
Usando il Teorema di Desargues B relativamente alle terne $D_1,B,I$ e $D_2,D,E$ otteniamo che $O\in l(D_1,D_2)$ e infine, applicando il Teorema di Desargues alle terne $D_1,D_2,E+E\cdot C$ e $B,D_1,I+C$ otteniamo che $l(D,E+E\cdot C)\parallel l(B,I+C)$ e quindi $E+E\cdot C=E\cdot (I+C)$.

A questo punto siamo pronti per provare la seconda legge distributiva: $E\cdot (A+C)=E\cdot A+E\cdot C$;
se $A=O$ la prova è banale (da esercizio 7); se $A\neq O$ allora si ha la catena di uguaglianze:
$(E\cdot(A+C)-E\cdot A-E\cdot C)\cdot A^{-1}=E\cdot(A+C)\cdot A^{-1}-E-E\cdot C\cdot A^{-1}=$
$=E\cdot (I+C\cdot A^{-1})-E-E\cdot C\cdot A^{-1}=E+E\cdot C\cdot A^{-1}-E-E\cdot C\cdot A^{-1}=O$.
Questo implica (da esercizio 7) che $E\cdot(A+C)-E\cdot A-E\cdot C=O$ cioè proprio $E\cdot (A+C)=E\cdot A+E\cdot C$.
(abbiamo usato la distributività a destra nei primi 2 passaggi e la "particolare" distributività a sinistra nel terzo).

Abbiamo dunque provato che $(l,+,\cdot)$ è un corpo, ma è naturale chiedersi: è anche un campo? ossia la moltiplicazione da noi definita è commutativa?
La risposta è, in generale, negativa ed essenzialmente i controesempi piú semplici (in realtà gli unici) possono venir esibiti costruendo piano affine coordinato (in cui le rette, ricordiamolo, sono i sottoinsiemi di $\mathbf{K}^2$ che soddisfano ad equazioni lineari) su un corpo $\mathbf{K}$ che non sia un campo; si può vedere che esso soddisfa gli assiomi A1, A2, A3 (come accennato) e inoltre esso soddisfa anche A4 -la prova è quasi del tutto identica a quella data nel caso di piani affini coordinati su campi- e dunque è un piano affine desarguesiano in cui possiamo definire una moltiplicazione fra punti; questa in sostanza è la moltiplicazione in $\mathbf{K}$ e dunque non è commutativa.
L'esempio più semplice di corpo che non sia un campo è dato dall'anello dei quaternioni che in sé particolarmente semplice non è e quindi non mostreremo esplicitamente un controesempio.

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