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Un insieme di assiomi è detto consistente se esiste un modello (o esempio) in cui tutti gli assiomi valgono. L'esistenza di un tale modello mostra che gli assiomi non sono contraddittori.

4. ESEMPIO    IL PIANO COORDINATO REALE
Poniamo $\mathcal{P}=\mathbf{R}^2$ e definiamo $\mathcal{L}$ nel modo seguente: $l\in\mathcal{L}$ se e solo se per definizione esistono $a,b,c\in\mathbf{R}$, e $(a,b)\neq(0,0)$, cioè non entrambi nulli, tali che $l=\{(x,y)\in\mathbf{R}^2\;:\;\;ax+by+c=0\}$; si dice che $ax+by+c=0$ è un'equazione per $l$.

Questo è il consueto piano cartesiano della geometria analitica con cui il lettore dovrebbe avere una minima familiarità.
Non staremo a dimostrare dettagliatamente che in esso valgono gli assiomi A1,A2 e A3; ricordiamo solo i fatti principali:

  • Innanzitutto equazioni proporzionali (per un fattore non nullo) individuano la stessa retta e viceversa due equazioni di una stessa retta sono necessariamente proporzionali; ciò segue immediatamente dalla teoria dei sistemi lineari.
  • Dati $P_1=(x_1,y_1)$ e $P_2=(x_2,y_2)$ punti distinti di $\mathbf{R}^2$, se $x_1=x_2$ allora $x=x_1$ è l'equazione dell'unica retta passante per $P_1$ e $P_2$.
    Se invece $x_1\neq x_2$ allora

    \begin{displaymath}(y-y_1)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)\end{displaymath}

    è l'equazione dell'unica retta passante per $P_1$ e $P_2$;
    si verifica direttamente che tali rette passano per $P_1$ e $P_2$.
    Bisogna verificare l'unicità:
    se $ax+by+c=0$ è l'equazione di una retta passante per $P_1$ e $P_2$ avremo le identità $ax_1+by_1+c=0$ e $ax_2+by_2+c=0$ da cui $a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0$. A questo punto supponiamo ad esempio $x_1\neq x_2$ (fatto che implica $b\neq 0$), potremo scrivere $a=\lambda b$ ove

    \begin{displaymath}\lambda=-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\end{displaymath}

    da cui $c=-ax_1-by_1=-b\lambda x_1-by_1$.
    Abbiamo cioè un'equazione iniziale $b\lambda x+by+b\gamma$ ove $\gamma=-\lambda x_1-y_1 $ cioè se una retta passa per $P_1$ e $P_2$ allora esiste $b\neq 0$ tale che un'equazione della retta sia $b(\lambda x + y+\gamma)=0$ ove le costanti $\lambda$ e $\gamma$ dipendono solo da $P_1$ e $P_2$; siccome equazioni proporzionali individuano la stessa retta abbiamo finito.
    Similmente si conclude nel caso $x_1=x_2$ e in definitiva in $\mathbf{R}^2$ A1 vale.
  • Se $l$ è una retta di equazione $ax+by+c=0$ segue dalla teoria dei sistemi lineari che ogni retta parallela ad $l$ può venir rappresentata tramite un'equazione del tipo $ax+by+t=0$ con $t\in\mathbf{R}$ arbitrario (cioè l'insieme delle rette di equazione $ax+by+t=0$ al variare di $t\in\mathbf{R}$ descrive il fascio di rette parallele a $l$); per cui se $Q=(\bar{x},\bar{y})$ è un punto di $\mathbf{R}^2$ abbiamo che, imponendo il passaggio per $Q$, si ottiene $t=-a\bar{x}-b\bar{y}$ e dunque la retta $r$ di equazione $ax+by-(a\bar{x}+b\bar{y})=0$ è l'unica parallela a $l$ passante per $Q$ e ciò dimostra in definitiva che in $\mathbf{R}^2$ A2 vale.
  • La verifica di A3 è banale.

Il fatto interessante è che per mostrare la validità degli assiomi A1,A2 e A3 non abbiamo usato nessuna proprietà caratterizzante i numeri reali (proprietà che sono essenziali per mostrare asserzioni di natura geometrica intuitivamente altrettanto semplici, ad esempio che una circonferenza interseca sempre una retta passante per il suo centro).
Sono state utilizzate esclusivamente le usuali proprietà algebriche, cioè il fatto che $\mathbf{R}$ è un campo e in effetti, se $\mathbf{K}$ è un campo arbitrario, l'insieme $\mathbf{K}^2$ in cui $\mathcal{L}$, l'insieme delle rette, è definito esattamente come sopra ( $l\in\mathcal{L}$ se e solo se per definizione esistono $a,b,c\in\mathbf{K}$, e $(a,b)\neq(0,0)$, cioè non entrambi nulli, tali che $l=\{(x,y)\in\mathbf{K}^2\;:\;\;ax+by+c=0\}$; si dice che $ax+by+c=0$ è un'equazione per $l$) è un piano affine, detto piano coordinato su $\mathbf{K}$, che verrà semplicemente denotato con $\mathbf{K}^2$.

Noi sappiamo già che un "piano affine algebrico" è "in sostanza" (a meno cioè di isomorfismi affini) un $\mathsf{A}^{2}(\mathbf{K})$ per un qualche campo $\mathbf{K}$ e che ogni retta affine di $\mathsf{A}^{2}(\mathbf{K})$ ha un'equazione cartesiana (rispetto al riferimento standard) del tipo $ax+by+c=0$; ma come detto la struttura di "piano affine geometrico" è ancora troppo povera; in effetti si mostra senza difficoltà che se $\mathbf{K}$ è un corpo ma non un campo (cioè la moltiplicazione non è commutativa) allora l'insieme $\mathbf{K}^2$ con $\mathcal{L}$ definito esattamente come sopra soddifa ancora agli assiomi A1,A2 e A3 (la prova è identica a quella per $\mathbf{R}^2$ ma occorrerà prestare attenzione nel non usare scritture ambigue quali $\frac{a}{b}$: su un corpo infatti $ab^{-1}$ e $b^{-1}a$ in generale saranno diversi) e chiaramente non potrà essere un "piano affine algebrico".
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