Il ruolo di ogni assioma può essere chiarificato esibendo esempi che soddisfano a due di essi ma non a tutti e tre: se possiamo trovare un modello in cui, diciamo, A1 e A2 valgono ma non A3 allora ciò significherà che A3 non può essere dedotto usando solo i primi due assiomi; in tal caso si dice che A3 è indipendente da A1 e A2.
Un sistema di assiomi in cui ciascuno è indipendente dagli altri è detto sistema di assiomi indipendenti; i seguenti tre esempi mostrano che A1, A2 e A3 costituiscono un sistema di assiomi indipendenti (clicca qui per visualizzare la pagina contenente gli enunciati degli assiomi).

3. OSSERVAZIONE

• INDIPENDENZA di A1
  Sia e .
  
  Dato che non esiste nessuna retta passante per e , A1 non vale; invece A2 vale come si puo provare per tentativi, ad esempio e l'unica retta passante per è che a è parallela; A3 vale in quanto abbiamo due rette distinte contenenti ciascuna due punti distinti.
  
  Si noti che nella rappresentazione grafica che abbiamo dato di e sono connessi da un segmento per indicare che essi sono collineari, ma in effetti non ci sono altri punti sulla retta diversi da questi ultimi.
• INDIPENDENZA di A2
  Sia e .
  
  Esistono 21 coppie di punti e 21 coppie di rette (coppie non ordinate di elementi distinti, s'intende) e si può mostrare, esaminando tutti i casi possibili -pur sempre in numero finito-, che ogni coppia di punti giace su una e una sola retta (ad esempio sta su ) e quindi A1 vale.
  A2 invece non vale, addirittura in non esistono coppie di rette parallele - in effetti è un piano proiettivo- come si può verificare controllando su ciascuna delle 21 coppie di rette, ad esempio .
  A3 vale in quanto abbiamo 3 punti distinti su ciascuna retta e 7 rette distinte.
  A proposito della rappresentazione grafica si ha ancora che la retta , da noi rappresentata tramite una circonferenza, sembra intersecare la retta in un punto tra e . Invece esse si intersecano solo in .
  
  Anche questo piano non può essere rappresentato su una superficie piatta usando segmenti per le rette poiché esso non fa parte della geometria euclidea.
  
  Acenniamo a come quello presentato sia un esempio di piano proiettivo (precisamente esso è il piú piccolo piano proiettivo ed è detto piano di Fano dal nome del matematico che lo introdusse nel 1892) e in effetti ogni spazio proiettivo soddisfa gli assiomi A1 e A3 ma non A2.
  
  
  
• INDIPENDENZA di A3
  Poniamo e ; A1 vale chiaramente e vale anche A2; infatti non possiamo trovare un punto non giacente sull'unica retta e dunque non c'è nulla da verificare; A3 chiaramente non vale.