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1. DEFINIZIONE Un piano affine è un insieme non vuoto , i cui elementi sono detti punti, tale che sia assegnato un insieme non vuoto di sottoinsiemi di $\mathcal{P}$, i cui elementi sono detti rette, in modo tale che valgano i seguenti 3 assiomi (in realtà l'assioma 3 consta di due parti separate):

  • A1
    tale che
  • A2
    tale che $\;$ $\exists !\;r\in\mathcal{L}$ tale che $P\in r$ e $l \cap r =\emptyset$

  • A3
    • tali che e
    • tali che .
Terminologia:
  • Se $P$ è un punto e $l$ una retta e $P\in l$ diciamo indifferentemente che $P$ incide o giace su $l$ o che $l$ passa per $P$.
  • Se $\{P_i\}_{i\in\mathrm{I}}$ è una famiglia di punti di $\mathcal{P}$ ed esiste una retta $l$ tale che $P_i\in l\;\;\forall\;i\in\mathrm{I}$, allora diremo che i punti $P_i$ sono allineati o collineari.
  • Se due rette $r,l$ sono coincidenti oppure disgiunte allora sono dette parallele;
    altrimenti (cioè se sono distinte e si intersecano) sono dette incidenti.
    Se $r,l$ sono incidenti e $P\in\; r \cap l $ allora si dice che $l$ e $r$ incidono in $P$.
  • Nell'insieme $\mathcal{L}$ la relazione essere rette parallele è banalmente una relazione di equivalenza; le classi di equivalenza cosí determinate sono dette fasci di rette parallele; un fascio di rette parallele è dunque un insieme massimale di rette parallele o equivalentemente un insieme consistente di una retta e di tutte le parallele ad essa.

Secondo la terminologia appena introdotta potremo dire che:

  • A1 afferma che in un piano affine per due punti distinti $P,Q$ passa un'unica retta $l$, e scriveremo $l=l(P,Q)$.
  • A2 afferma che in un piano affine vale il V postulato di Euclide (o postulato delle parallele): assegnati un punto $P$ e una retta $l$ esiste un'unica retta $r$ parallela a $l$ e passante per $P$.
    Infatti se $P\not\in l$ abbiamo esattamente il contenuto di A2; se invece $P\in l$ allora $l$ è l'unica parallela a se stessa passante per $P$, infatti per definizione due rette parallele non coincidenti sono disgiunte.
  • A3 afferma che in un piano affine su ogni retta stanno almeno due punti distinti e che esistono almeno due rette distinte.
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