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2. OSSERVAZIONI

  • Siano $l,r$ due rette; supponiamo $l\cap r \neq \emptyset$; allora $l=r$ oppure esiste un unico punto $P$ tale che $l\cap r =\{P\} $, cioè due rette incidenti incidono in un unico punto.

    Infatti se $P,Q\in\;l\cap r$ e $P\neq Q$ allora $l=r$ da A1.
  • In un piano affine esistono almeno due punti distinti; infatti $\mathcal{L}$ è non vuoto; scelta una retta $l$ basta poi applicare prima parte di A3.

  • In un piano affine tre punti non allineati sono distinti.
    Infatti se $A,B,C\in \mathcal{P}$ e ad esempio $A=B\neq C$ potremo applicare A1 per concludere.
    Se invece $A=B=C$ allora esiste un punto $D$ distinto da $A$ per l'osservazione precedente e ci riconduciamo al caso precedente.

  • Esistono almeno tre punti non allineati
    Infatti siano $P,Q$ due punti distinti e $l=l(P,Q)$ la retta passante per tali punti e sia $r$ una retta distinta da $l$; si presentano due casi:


    • $l$ e $r$ incidenti: posto $M$ il punto comune a $l$ e $r$ (eventualmente $M=P$ o $M=Q$) sia e $N\neq M$; affermiamo che $P,Q,N$ non sono allineati; infatti se una retta contiene $P$ e $Q$ questa è $l$ e $N\not\in l$.
    • $l$ e $r$ parallele (e quindi disgiunte visto che sono distinte); sia $N\in r$ arbitrario; come sopra segue che $P,Q,N$ non sono allineati.




  • Esistono almeno tre rette distinte a due a due non parallele.
    Infatti se $A,B,C$ sono tre punti non allineati allora sono distinti; ha senso considerare le rette $l(A,B)$,$l(A,C)$,$l(B,C)$; esse sono chiaramente distinte e a due a due incidenti.



Le osservazioni seguenti sono rivolte a coloro che conoscono i fondamenti della trattazione algebrica degli spazi affini.

Abbiamo dichiarato che le impostazioni algebrica e geometrica di piano affine sono equivalenti, ragion per cui sarebbe lecito aspettarsi che quello che abbiamo definito sopra e chiamato piano affine (che d'ora in poi chiameremo sbrigativamente "piano affine geometrico") soddisfi anche alla definizione algebrica di piano affine (al quale ci riferiremo d'ora in poi come "piano affine algebrico"), cioè in altre parole sia costruibile un spazio vettoriale di dimensione 2 e un'applicazione che soddisfi agli assiomi ASS.1 e ASS.2 e in modo tale che l'insieme $\mathcal{L}$ coincida con l'insieme dei sottospazi affini di dimensione 1 (vedi definizione algebrica di spazio affine).
Tra l'altro si riconosce immediatamente che il viceversa è vero: in un piano affine algebrico A1, A2 e A3 valgono.
Invece a questo punto non c'è ancora equivalenza tra le due impostazioni nel senso che in generale un piano affine geometrico non è un piano affine algebrico.
Il primo infatti possiede una struttura ancora troppo povera, come si può immaginare esaminando gli assiomi definitori: A1 esprime una proprietà di incidenza, A2 è il V postulato di Euclide e A3 serve per evitare casi banali.
Purtroppo la terminologia tradizionale presenta in questo caso una certa ambiguità, ma ad essa comunque ci atterremo.
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