TORNA ALLA HOME PAGE TORNA ALL'ELENCO DELLE SEZIONI




precedente
successivo

Abbiamo dato alcuni esempi di piani affini finiti: il piano affine su $\mathrm{Z_2}$ e quello su $\mathrm{Z_3}$ .
Nel primo esempio avevamo 4 punti, 6 rette, 2 punti su ogni retta e 3 fasci di rette parallele contenenti ciascuno 2 rette; nel secondo esempio avevamo 9 punti, 12 rette, 3 punti su ogni retta e 4 fasci di rette parallele contenenti ciascuno 3 rette; ci chiediamo ora se per ogni intero $t$ esiste un piano affine costituito da $t$ punti e se esistono regole che determinano il numero di rette di un piano finito, il numero di punti su una retta e cosí via.

La seguente proposizione ci assicura che tutte le rette di un piano affine finito contengono lo stesso numero di punti, anzi in generale due rette di un piano affine hanno la stessa cardinalità:

7. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{P}$ piano affine e $l,m$ rette; allora esiste una biezione tra $l$ e $m$.

DIMOSTRAZIONE Distinguiamo due casi:


  • $l$ e $m$ incidenti: allora sappiamo che esiste $O\in\mathcal{P}$ tale che $l\cap m= \{O\}$; sia $A\in l$ e $A'\in m$ entrambi diversi da da $O$; per ogni punto $B\in l$ diverso da $O$ e $A$ (eventualmente nessuno!) sia $k$ la retta passante per $B$ e parallela a $l(A,A')$.
    $k$ non può essere parallela a $m$ altrimenti avremmo due rette distinte $m$ e $l(A,A')$ passanti per $A'$ e parallele a $k$. Dunque esiste un punto $B'$ tale che $k\cap m=\{B'\}$; $B' \neq O$, $B' \neq A'$ perché altrimenti $k$ sarebbe incidente a $l(A,A')$.
    Definendo $f$ da $l$ in $m$ ponendo $f(O)=O$, $f(A)=A'$ e (eventualmente) $f(B)=B'$ otteniamo la biezione cercata.

  • $l$ e $m$ parallele; sia $O\in l$ e $O' \in m$; allora $l\cap l(O,O')=\{O\}$; applicando il caso precedente possiamo dire che esiste una corrispondenza biunivoca $f$ tra $l$ e $ l(O,O')$; identicamente esiste una biezione $g$ tra $ l(O,O')$ e $m$; componendo otteniamo che $g\circ f $ è una corrispondenza tra $l$ e $m$.


8. DEFINIZIONE Sia $\mathcal{P}$ piano affine e sia $n\in\mathbf{N}$; se ogni retta di $\mathcal{P}$ contiene esattamente $n$ punti si dice che $\mathcal{P}$ ha ordine $n$.



9. TEOREMA Sia $\mathcal{P}$ piano affine di ordine $n$; allora si ha che:
  1. $\mathcal{P}$ contiene esattamente $n^2$ punti
  2. Ogni punto giace su $n+1$ rette
  3. Ogni fascio di rette parallele contiene $n$ rette
  4. L'insieme $\mathcal{L}$ delle rette è costituito da $n(n+1)$ elementi
  5. Esistono esattamente $n+1$ fasci di rette parallele

DIMOSTRAZIONE

  1. Supponiamo che $l=\{A_1,\ldots,A_n\}$ sia una retta in $\mathcal{P}$ e sia $B$ un punto non giacente su $l$; consideriamo la retta $l(A_1,B)=:m_1$ e per ogni $i=2,\ldots,n$ definiamo $m_i$ come l'unica retta passante per $A_i$ e parallela a $m_1$.
    Ciascuna delle rette $m_1,\ldots,m_n$ contiene $n$ punti e inoltre sono a due a due disgiunte per cui potremo dire che il numero di punti in $m_1\cup\ldots\cup m_n$ è $n^2$; affermiamo che $\mathcal{P}=m_1\cup\ldots\cup m_n$, infatti sia $P$ un punto di $\mathcal{P}$, allora $P\in m_1$ oppure esiste un'unica parallela $k$ a $m_1$ passante per $P$ e in questo caso $k$ deve incidere $l$ in uno dei punti $A_2,\ldots,A_n$ ($k$ e $l$ non possono essere parallele perché altrimenti lo sarebbero anche $m_1$ e $l$) e quindi coincidere con una delle rette $m_i$, $\;$ $i=2,\ldots,n$.

  2. Sia $B$ un punto arbitrario di e una retta che non lo contiene; definiamo $l_i=l(B,A_i)$, $\;$ $i=1,\ldots,n$ e $l_{n+1}$ come l'unica retta passante per $B$ e parallela a $l$; dagli assiomi di spazio affine segue che esse sono $n+1$ rette distinte per $B$.
    Inoltre ogni altra retta per $B$ interseca $l$ (e dunque è una delle rette $l_i$, $\;$ $i=1,\ldots,n$) oppure è parallela a $l$ (e dunque è $l_{n+1}$).


  3. Sia $l$ una retta e $C_1$ un punto su $l$ e $C_2$ un punto non su $l$;

    possiamo considerare la retta $l(C_1,C_2)$ e per ipotesi si potrà scrivere $l(C_1,C_2)=\{C_1,\ldots,C_n\}$ per opportuni punti di $\mathcal{P}$; per ogni $i=2,\ldots,n$ definiamo $l_i$ come la retta parallela a $l$ e passante per $C_i$; queste $n-1$ rette sono tutte distinte poiché distinti sono i punti $C_2,\ldots,C_n$; se $k$ è una retta parallela a $l$ e da questa distinta allora essa deve intersecare $l(C_1,C_2)$ poiché $l$ è l'unica parallela a $k$ passante per $C_1$ e dunque $k\cap l(C_1,C_2)=\{C_i\}$ per un qualche $i$; da ciò scende che $k=l_i$ e dunque non esistono altre rette parallele a $l$ distinte da $l$ diverse dalle rette $l_i$.
  4. Sia $B$ un punto arbitrario di $\mathcal{P}$ e $l_1,\ldots,l_{n+1}$ le rette passanti per $B$. Ciascuna di queste rette sta in fascio e i fasci cosí ottenuti sono distinti e contengono ciascuno $n$ rette cosicché in definitiva abbiamo che l'insieme delle rette per $B$ e di tutte le parallele a queste consta di $n(n+1)$ rette; affermiamo che non vi sono altre rette in $\mathcal{L}$: infatti se $m$ è una retta si ha che $B\in m$ (e in tal caso $m$ è già stata considerata) oppure esiste una retta contenente $B$ e parallela a $m$ (e anche in questo caso $m$ è già stata presa in considerazione).
  5. Poiché ciscuna delle $n(n+1)$ rette sta in un unico fascio e ogni fascio contiene $n$ rette, necessariamente si devono avere $n+1$ fasci.

Osserviamo che da A3 sappiamo che ogni piano affine è di ordine 2 o maggiore e dunque contiene almeno 3 fasci di rette parallele (come già visto direttamente in un punto dell'osservazione 2).

Una domanda naturale che viene naturale porsi è: per quali interi $n$ vi sono piani affini di ordine $n?$
La risposta è effettivamente sconosciuta e resta uno dei piú grandi problemi aperti in geometria affine finita.
Noi abbiamo visto esempi di piani di ordine 2 e 3; similmente considerando il piano affine coordinato su $\mathrm{Z}_p$ ove $p\in\mathbf{N}$ è un numero primo, si ottiene un piano affine di ordine $p$.
In generale se $\mathbf{K}$ è un campo con $m$ elementi il piano affine coordinato su $\mathbf{K}$ ha ordine $m$ e dall'algebra sappiamo che esistono campi di ordine $p^s$ per ogni $p\in\mathbf{N}$ numero primo, per ogni $s\in\mathbf{N}$; dunque esistono piani affini di ordine 4, 5, 7, 8, 9, 11... (rispettivamente con 16, 25 ,49, 64, 81, 121... punti).
Invece da tempo è noto che non esistono piani affini di ordine 6, mentre solo recentemente (nel 1989 tramite una ricerca informatica) è stato provato che non esistono piani affini di ordine 10; resta tuttora sconosciuto se esistano o meno piani affini di ordine 12.
MAPPA DEL SITO ______ vai in cima alla pagina_______________ precedente__ successivo________________________