ISOMORFISMO TRA UNO SPAZIO AFFINE E LO SPAZIO NUMERICO CHE HA LA STESSA DIMENSIONE

Abbiamo detto cosa intendiamo per spazi affini isomorfi (vedi definizione 3 della sezione "Applicazioni affini") e questo punto una precisazione: lo studente medio tende a considerare "uguali" due strutture algebriche isomorfe, ma cosí non è in generale.
D'altra parte un motivo ci sarà se parliamo di spazi che sono o meno isomorfi (dal greco ísos = uguale e morphé = forma, struttura); il fatto è che tutte le proprietà di uno spazio affine $\mathcal{A}$ deducibili esclusivamente dalla struttura affine $\mathcal{A}$ (in definitiva proprio quelle a cui siamo interessati) e non dalla natura particolare dell'insieme $\mathcal{A}$ , sono "conservate" passando ad uno spazio affine $\mathcal{A}'$ isomorfo ad $\mathcal{A}$ , com'è facile aspettarsi considerando che tali due spazi sono connessi da un'applicazione affine (che "rispetta" la struttura affine) e biunivoca.
Studiando le proprietà affini di uno spazio aff. non è quindi limitativo trasferirsi ad operare su uno spazio affine isomorfo.

A questo punto è naturale chiedersi: dato uno spazio affine $\mathcal{A}$ , esiste uno spazio affine canonico a cui $\mathcal{A}$ è isomorfo?
La risposta è affermativa ed è fornita dalla seguente proposizione.

3. TEOREMA Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ ; sia $\mathsf{dim}\mathcal{A}=n$ ; allora $\mathcal{A}$ è isomorfo ad $\mathsf{A}^{n}(\mathbf{K})$ .

DIMOSTRAZIONE Scegliamo un riferimento affine per $\mathcal{A}:\;\;\;\mathcal{R}=O\mathcal{B}$ e definiamo

$\begin{displaymath}\begin{array}{cclc} f: & \mathcal{A} & \longrightarrow & \mat... ...\mathbf{K})\\ \; & A & \mapsto & (a_1,\ldots ,a_n) \end{array}\end{displaymath}$

ove $A=( a_1,\ldots ,a_n)_{\mathcal{R}}$
Affermiamo che

è isomorfismo affine, cioè che esiste $\varphi \in \mathsf{Hom}_{\mathbf{K}}(\mathbf{V},\mathbf{K}^n)$ tale che $\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\varphi(\overrightarrow{PQ})\;\;\;\forall P,Q \in \mathcal{A}$ .
Infatti, posto

, abbiamo che

per definizione di struttura affine di $\mathbf{K}^{n}$ (vedi esempi 5 e 6 della sezione "Spazi affini: definizione e proprietà").
Inoltre sappiamo che $\overrightarrow{PQ}=(y_1-x_1,\ldots ,y_n-x_n)_{\mathcal{B}}$ (da esercizio 2.2); concludiamo quindi ponendo $\varphi:=\phi_{\mathcal{B}}$ , ove $\phi_{\mathcal{B}}:\;\mathbf{V}\longrightarrow \mathbf{K}^{n}$ è l'isomorfismo di $\mathbf{K}$ -spazi vettoriali che associa ad un vettore la n-pla delle sue coordinate rispetto a $\mathcal{B}$ .
Si noti che in questa dimostrazione si usa pesantemente il fatto che $\mathsf{dim}\mathcal{A}$ è finita.

4. COROLLARIO Siano $\mathbf{V},\mathbf{V}'$ $\mathbf{K}$ -spazi vettoriali e $\mathcal{A}, \mathcal{A}'$ spazi affini rispettivamente su $\mathbf{V},\mathbf{V}'$ .
Allora $\mathcal{A}, \mathcal{A}'$ sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

Chiariamo innanzitutto che, affermando che esiste uno spazio affine canonico isomorfo ad un dato spazio affine $\mathcal{A}$ (di dimensione finita), intendiamo semplicemente dire che, fra tutti gli spazi affini isomorfi ad $\mathcal{A}$ , esiste sempre quello numerico costruito su $\mathbf{K}$ e avente la stessa dimensione di $\mathcal{A}$ .
L'isomorfismo esibito nella dimostrazione precedente si guarda bene dall'essere canonico in quanto coinvolge la scelta di un riferimento affine $\mathcal{R}$ per $\mathcal{A}$ .
Comunque, ricollegandoci a quanto detto in precedenza, otteniamo che non è limitativo studiare la struttura affine degli spazi vettoriali $\mathbf{K}^{n}$ , cioè studiare $\mathsf{A}^{n}(\mathbf{K})$ , in quanto, al variare di $\mathbf{K}$ campo e

intero non negativo, otteniamo tutti i possibili modelli di spazi affini (tutti non isomorfi tra di loro!).

5. ESERCIZI L'esercizio proposto esibisce un'isomorfismo tra un generico spazio affine $\mathcal{A}$ su $\mathbf{V}$ e $\mathbf{V}_\mathsf{a}$ da cui, peraltro, si può riottenere la proposizione precedente come immediato corollario.

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