ESEMPI DI SPAZI AFFINI

4. ESEMPIO I primi esempi di spazi affini sono piano e spazio ordinari (la dimostrazione di questo fatto risiede nel contenuto delle osservazioni 6 e 8 della sezione "Geometria affine intuitiva").
Essi sono spazi affini reali di dimensione rispettivamente 2 e 3.
E in tal senso dunque uno spazio affine astratto generalizza il concetto di piano e spazio ordinari.

5. ESEMPIO Sia $\mathbf{V}$ un $\mathbf{K}$ -spazio vettoriale; $\mathbf{V}$ ha una naturale struttura di spazio affine su se stesso ottenuta associando ad una coppia di vettori l'opposto della differenza; precisamente essa è data dall'applicazione

In accordo con le notazioni precedentemente introdotte dovremmo indicare il vettore

con il simbolo

, ma questa notazione non è molto usata e si scrive direttamente $\mathbf{w}-\mathbf{v}$ .
Quando ci riferiremo alla struttura affine di uno spazio vettoriale $\mathbf{V}$ useremo la notazione $\mathbf{V}_\mathsf{a}$ e parleremo coerentemente dei punti di $\mathbf{V}_\mathsf{a}$ (i quali sono, quindi, anche i vettori di $\mathbf{V}$ ).
La verifica che l'applicazione $\delta$ soddisfa agli assiomi ASS.1 e ASS.2 è banale:
infatti se $\mathbf{p}\in \mathbf{V}_\mathsf{a}$ e $\mathbf{v}\in\mathbf{V}$ allora il punto $\mathbf{q}$ di $\mathbf{V}_\mathsf{a}$ definito come $\mathbf{v}+\mathbf{p}$ soddisfa all'equazione $\mathbf{q}-\mathbf{p}=\mathbf{v}$ e non ve ne sono altri.
Infine, se $\mathbf{p},\mathbf{q},\mathbf{r}\in\mathbf{V}_\mathsf{a}$ , allora si ha banalmente l'identità $(\mathbf{q}-\mathbf{p})+(\mathbf{r}-\mathbf{q})=(\mathbf{r}-\mathbf{p})$ .

6. ESEMPIO Sono particolarmente interessanti gli spazi affini che si ottengono considerando la struttura affine degli spazi vettoriali numerici; precisamente se $\mathbf{K}$ è un campo e $n\in\mathbf{N}$ , allora potremo considerare lo spazio vettoriale $\mathbf{K}^n$ ; lo spazio affine che se ne ricava è detto n-spazio affine numerico su K e viene denotato con il simbolo $\mathsf{A}^{n}(\mathbf{K})$ .

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