Nella sezione "Geometria affine intuitiva" abbiamo associato al piano ordinario
gli spazi vettoriali dei vettori applicati e lo spazio
vettoriale
dei vettori liberi (ottenendo
-spazi vettoriali
di dimensione due). Abbiamo accennato a come costruzioni del tutto analoghe possano venir
eseguite anche per lo spazio ordinario
(ottenendo in tal caso
-spazi
vettoriali di dimensione tre).
Se fissiamo un punto
è immediato riconoscere che l'applicazione
è una biezione che ci permette di identificare i punti di
e i vettori di
,
ed evidentemente dipende da
.
A questo punto il lettore dovrebbe obbiettare dicendo che questa procedura va contro lo
spirito con cui introducemmo lo spazio
,
cioè associare al piano ordinario uno
spazio vettoriale che non dipenda dalla scelta di un punto del piano ordinario stesso, nel
quale per sua natura non vi è un punto privilegiato rispetto agli altri.
A tal fine sarebbe bastato considerare la biezione
e in effetti , una volta che si è fissato un punto
,
si ha la biezione
In definitiva abbiamo che, dato
,
il vettore libero
dipende dalla scelta di
:
e ciò ci dovrebbe convincere che non è possibile "vedere" il piano ordinario come uno
spazio vettoriale in modo intrinseco, cioè poter considerare in modo canonico ogni punto di
come un vettore (proprio perché in ogni
spazio vettoriale
un elemento "particolare" c'è:
).
Dobbiamo accontentarci di meno, cioè della costruzione (intrinseca) dello spazio
,
e dunque in ultima analisi del fatto di poter associare ad ogni coppia di punti
un vettore,
,
di
.
Si noti come valga

cioè sono queste differenze ad essere indipendenti dalla scelta di
.
Nella definizione astratta di uno spazio affine
che stiamo per dare invertiremo
il punto di vista: preassegneremo uno spazio vettoriale
e l'associazione
che determina un vettore data una
coppia di punti di
.
Alcune proprietà, verificabili in modo geometrico
intuitivo, che questa associazione aveva nel piano ordinario saranno ora prese come assiomi
di partenza.