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1. DEFINIZIONE ADDIZIONE SULLE RETTE DI UN PIANO AFFINE DESARGUESIANO
Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano e $l\in\mathcal{L}$ una retta; siano $O\in l$ e siano $A,C\in l$.
Definiamo il punto $A+C\in l$ -ottenendo cosí una operazione interna su $l$- relativamente alla scelta di $O$ nella seguente maniera:

  1. sia $B$ un punto non giacente su $l$,
  2. sia $m$ la retta per $B$ parallela a $l$,
  3. sia $k$ la retta per $A$ parallela alla retta $l(O,B)$,
  4. poniamo $\{D\}=m\cap k$,
  5. sia $n$ la retta passante per $D$ e parallela alla retta $l(B,C)$,
  6. definiamo $A+C$ come il punto $n\cap l$.
È facile verificare che i passaggi effettuati sono ben definiti (ad esempio $m$ e $k$ non possono essere parallele perché se cosí fosse, allora avremmo due rette -$l$ e $k$- passanti per $A$ e parallele a $m$ e di qui seguirebbe $l=k$ laddove tali rette sono distinte visto che $k$ è parallela a $l(O,B)$ mentre $l$ non lo è; alla stessa maniera segue che $n$ non è parallela a $l$).

2. OSSERVAZIONE A priori comunque il punto $A+C$ dipende dalla scelta di $B$, il quale è detto punto ausiliario nella definizione di $A+C$, mentre invece, una volta fissato $B$, si ha che il punto $D$, detto secondo punto ausiliario, è univocamente determinato; useremo spesso la locuzione abbreviata "sommiamo $A$ e $C$ utilizzando $B$ (e $D$)".
Il nostro compito è ora mostrare che $A+C$ in realtà non dipende da $B$:

Siano $A,C\in l$ come sopra e siano $B_1,B_2 \in \mathcal{P}$ due punti non giacenti su $l$; calcoliamo $A+C$ utilizzando sia $B_1$ che $B_2$ come punti ausiliari e denotiamo il risultato rispettivamente come $(A+C)_1$ e $(A+C)_2$ -$D_1$ e $D_2$ denoteranno rispettivamente i punti di passo 4.
A questo punto si distinguono due casi:
  • I CASO:
    $ B_1,B_2,O$ collineari; l'assioma delle parallele ci assicura che anche i punti $ D_1,D_2,A$ sono allineati lungo la retta passante per $A$ e parallela a $l(O,B_1)$.
    Ora usando il Teorema di Desargues relativamente ai triangoli $ B_1,B_2,C$ e $ D_1,D_2,(A+C)_1$ otteniamo che $l(B_2,C)\parallel l(D_2,(A+C)_1)$.
    Ma noi sappiamo che $l(B_2,C)\parallel l(D_2,(A+C)_2)$ e di qui segue necessariamente che $(A+C)_1=(A+C)_2$.
  • II CASO:
    $ B_2\not\in l(O,B_1)$; utilizzando il Teorema di Desargues relativamente ai triangoli $B_1,O,B_2$ e $D_1,A,D_2$ otteniamo che $l(B_1,B_2)\parallel l(D_1,D_2)$ ed utilizzando ancora il Teorema di Desargues questa volta relativamente ai triangoli $ B_1,B_2,C$ e $ D_1,D_2,(A+C)_1$ otteniamo che otteniamo che $l(B_2,C)\parallel l(D_2,(A+C)_1)$ e come in I CASO possiamo concludere che $(A+C)_1=(A+C)_2$.


In definitiva abbiamo che l'addizione di punti di una retta affine $l$ relativamente ad un suo punto $O$ è un'operazione interna su $l$.
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